Första ordningens linjära differentialekvation

Hejsan!

Det är så att jag kan inte lista ut svaret men har nästan gjort hela uppgiften.

Fråga: Lös följande 1:a ordningens linjära differentialekvation genom att addera den homogena ekvationens lösning till en partikulärlösning. I förekommande fall, bestäm konstanten.

$2 y' + 8 y = 3 x - 1, y (0) = 0$

Lösning:

$Y_{P} = k x + m V L : 2 y' + 8 y = 2 k + 8 k x + 8 m$

$\{8 k x = 3 x\} \{2 k + 8 m = 1\} k = \frac{3}{8} m = \frac{1}{32}$

3) $y_{H} = C e^{- 4 x}$

Det jag inte förstår är hur han får fram svaret $y = \frac{1}{32} (7 e^{- 4 x} + 12 x - 7)$

Kan någon förklara om jag har gjort fel under uppgiften och vart jag behöver kolla närmare för att lösa det?

Du har missat att det är ett minustecken framför ettan. Det ska bli:

$2k+8m=-1$

istället för

$2k+8m=1$

AlvinB skrev:
Du har missat att det är ett minustecken framför ettan. Det ska bli:
$2k+8m=-1$
istället för
$2k+8m=1$

Jag har beräknat så tidigare i en annan uppgift och får det rätt!

Då skulle jag bara beräkna partikulärlösning och hade uppgiften

$y + 5 y' = 3 x - 2$

$y = k x + m V L : y + 5 y' = (k x + m) + 5 k = k x + 5 k + m$

$\{k x = 3 x\} \{5 k + m = 2\} k = 3 m = - 13$

$y_{P} = 3 x - 13$

Då blev svaret rätt men på den uppgiften över så blir det inte så

Fast det är fel. Partikulärlösningen till

$y+5y'=3x-2$

är $y_p=3x-17$ , inte $3x-13$ .

Var noga med minustecken!

AlvinB skrev:
Fast det är fel. Partikulärlösningen till
$y+5y'=3x-2$
är $y_p=3x-17$ , inte $3x-13$ .
Var noga med minustecken!

Svaret på boken är 3x-13

Då är det fel i facit. Låt oss pröva lösningen $y=3x-13$ .

$y'$ är lika med $3$ , vilket ger:

$3x-13+5\cdot 3\stackrel{?}{=}3x-2$

$3x-13+15\stackrel{?}{=}3x-2$

$3x+2\neq3x-2$

Eftersom likheten inte stämmer är $y=3x-13$ inte en lösning till differentialekvationen.

Om vi däremot prövar $y=3x-17$ får vi:

$3x-17+5\cdot 3\stackrel{?}{=}3x-2$

$3x-17+15\stackrel{?}{=}3x-2$

$3x-2=3x-2$

Likheten stämmer. Alltså är $y=3x-17$ en lösning till differentialekvationen.

AlvinB skrev:
Då är det fel i facit. Låt oss pröva lösningen $y=3x-13$ .
$y'$ är lika med $3$ , vilket ger:
$3x-13+5\cdot 3\stackrel{?}{=}3x-2$
$3x-13+15\stackrel{?}{=}3x-2$
$3x+2\neq3x-2$
Eftersom likheten inte stämmer är $y=3x-13$ inte en lösning till differentialekvationen.
Om vi däremot prövar $y=3x-17$ får vi:
$3x-17+5\cdot 3\stackrel{?}{=}3x-2$
$3x-17+15\stackrel{?}{=}3x-2$
$3x-2=3x-2$
Likheten stämmer. Alltså är $y=3x-17$ en lösning till differentialekvationen.

Jaha okej! Då förstår jag!

Jag tänkte bara fråga: säg att man har y' och y samt en vanlig konstant tal som 3 fast ingen x dvs

$y' + y = 3$

Kan man lösa det med $Y_{p} = k x + m$ eller räcker det med att ta fram $C e^{x}$ för jag tror inte att det går att lösa fram kx+m då vi inte har X

Nej, det räcker inte bara med $Ce^{kx}$ -termen. Den gäller ju bara om man har en homogen differentialekvation (d.v.s. om högerledet är noll). Så länge högerledet inte är noll måste man ta fram en partikulärlösning och addera den med motsvarande homogena lösning.

I fallet där man har en konstant i högerled ska du göra en ansats med en konstant, d.v.s. $y_p=k$ . En allmän regel för polynom i högerledet är att ansatsen man gör ska ha samma grad som polynomet i högerled. Är polynomet en konstant blir ansatsen en konstant, är polynomet linjärt blir ansatsen linjär, är polynomet en andragradsfunktion blir ansatsen en andragradsfunktion, o.s.v.

AlvinB skrev:
Nej, det räcker inte bara med $Ce^{kx}$ -termen. Den gäller ju bara om man har en homogen differentialekvation (d.v.s. om högerledet är noll). Så länge högerledet inte är noll måste man ta fram en partikulärlösning och addera den med motsvarande homogena lösning.
I fallet där man har en konstant i högerled ska du göra en ansats med en konstant, d.v.s. $y_p=k$ . En allmän regel för polynom i högerledet är att ansatsen man gör ska ha samma grad som polynomet i högerled. Är polynomet en konstant blir ansatsen en konstant, är polynomet linjärt blir ansatsen linjär, är polynomet en andragradsfunktion blir ansatsen en andragradsfunktion, o.s.v.

Då förstod jag! Tack för hjälpen! :-)

Svara

Visa senaste svar