Förstå formeln för permutationer och kombinationer
Jag har svårt att förstå mig på varför dessa formler är som de är.
Formeln för permutationer (när all element är olika): . Varför divideras det med n-r? I mitt huvud är endast r rimligare.,
Formeln för permutationer (alla element lika): . Hur skiljer den sig från den andra formeln och varför?
Formeln för kombinationer: . Och varför är den såhär?
Vore väldigt snällt om någon vill förklara tydligt.
Första formeln: Vi har ett totalt antal objekt, n, och ett antal objekt vi ska välja ut, r. Om vi säger att vi har totalt åtta olika objekt, och ska välja ut tre, blir beräkningen för antal permutationer: . Om vi vill skriva detta med fakulteter, vilket är bra för att slippa skriva ut hundra siffror, om det är så många objekt man ska välja, kan vi börja med att konstatera att om vi skulle välja ut åtta objekt, skulle antalet permutationer bli lika med 8!. Men, vi valde ju bara ut tre objekt, och alltså är femman, fyran, trean och tvåan i vägen för att vi ska kunna använda oss av uttrycket 8!. Om vi då dividerar med 5!, kan vi förenkla bort dessa felaktiga faktorer, och kvar får vi det vi ville ha från början, alltså att . Därför subtraherar vi r från n innan vi dividerar. Differensen mellan n och r... fakultet (alltså (n - r)!, mycket svårt att skriva med ord), är precis de faktorer som vi vill få bort från täljaren.
Andra formeln: Här är flera element likadana. Det är skillnaden. Om vi ska skapa "ord" (eller snarare "bokstavsspya") med bokstäverna från ordet SPEGEL, kan vi skapa 6! "ord". Men eftersom E:na är likadana, spelar det ingen roll vilket av dem som kommer först. Alltså har vi bara fem olika bokstäver att välja på, men totalt sex bokstäver. Eftersom vi kan sätta det första E:et på två platser, och det andra E:et på en plats, blir antalet dupletter 2! = 2 st. för varje ord vi skapar. Om vi då dividerar med 2! blir vi av med dessa. Därför dividerar man med k! för alla dubbla/tripla/etc. element i en mängd.
Tredje formeln: Denna formel är en kombination (badum tss...) av de två formlerna. Om vi utgår ifrån att vi har tio medlemmar och ska välja fem av dessa medlemmar till likadana styrelseposter, spelar det ingen roll om vi väljer Carl, Hamid, Sandra, Tony, Eva, eller om vi väljer Hamid, Tony, Sandra, Eva, Carl. När vi räknat ut antalet permutationer för fem personer utav tio (ordningen relevant), vill vi på något sätt justera detta tal, så att ordningen inte längre spelar roll. Det sätt vi gör detta på är att titta på hur många kopior det blir när vi väljer fem personer. Den första personen kan stå på fem olika platser i kön, den andra fyra, den tredje tre, den fjärde två, och den sista bara en, alltså får vi 5! kopior, och talet vi fick fram av vår permutationsberäkning innehåller alltså en faktor 5! för mycket. Nu kallade vi antalet personer vi valt ut (5 st) för r, och får då att antalet kopior av uppsättningarna är r!. När vi dividerat med r! har vi alltså det antal olika kombinationer som finns, kvar.
Smutstvätt skrev:Första formeln: Vi har ett totalt antal objekt, n, och ett antal objekt vi ska välja ut, r. Om vi säger att vi har totalt åtta olika objekt, och ska välja ut tre, blir beräkningen för antal permutationer: . Om vi vill skriva detta med fakulteter, vilket är bra för att slippa skriva ut hundra siffror, om det är så många objekt man ska välja, kan vi börja med att konstatera att om vi skulle välja ut åtta objekt, skulle antalet permutationer bli lika med 8!. Men, vi valde ju bara ut tre objekt, och alltså är femman, fyran, trean och tvåan i vägen för att vi ska kunna använda oss av uttrycket 8!. Om vi då dividerar med 5!, kan vi förenkla bort dessa felaktiga faktorer, och kvar får vi det vi ville ha från början, alltså att . Därför subtraherar vi r från n innan vi dividerar. Differensen mellan n och r... fakultet (alltså (n - r)!, mycket svårt att skriva med ord), är precis de faktorer som vi vill få bort från täljaren.
Andra formeln: Här är flera element likadana. Det är skillnaden. Om vi ska skapa "ord" (eller snarare "bokstavsspya") med bokstäverna från ordet SPEGEL, kan vi skapa 6! "ord". Men eftersom E:na är likadana, spelar det ingen roll vilket av dem som kommer först. Alltså har vi bara fem olika bokstäver att välja på, men totalt sex bokstäver. Eftersom vi kan sätta det första E:et på två platser, och det andra E:et på en plats, blir antalet dupletter 2! = 2 st. för varje ord vi skapar. Om vi då dividerar med 2! blir vi av med dessa. Därför dividerar man med k! för alla dubbla/tripla/etc. element i en mängd.
Tredje formeln: Denna formel är en kombination (badum tss...) av de två formlerna. Om vi utgår ifrån att vi har tio medlemmar och ska välja fem av dessa medlemmar till likadana styrelseposter, spelar det ingen roll om vi väljer Carl, Hamid, Sandra, Tony, Eva, eller om vi väljer Hamid, Tony, Sandra, Eva, Carl. När vi räknat ut antalet permutationer för fem personer utav tio (ordningen relevant), vill vi på något sätt justera detta tal, så att ordningen inte längre spelar roll. Det sätt vi gör detta på är att titta på hur många kopior det blir när vi väljer fem personer. Den första personen kan stå på fem olika platser i kön, den andra fyra, den tredje tre, den fjärde två, och den sista bara en, alltså får vi 5! kopior, och talet vi fick fram av vår permutationsberäkning innehåller alltså en faktor 5! för mycket. Nu kallade vi antalet personer vi valt ut (5 st) för r, och får då att antalet kopior av uppsättningarna är r!. När vi dividerat med r! har vi alltså det antal olika kombinationer som finns, kvar.
Jättebra förklaring tack! Men på 2. Bör man inte även dividera med (n-r)!?
Hmmm, jo egentligen. Dock brukar man utgå ifrån att man använder alla bokstäver. Men, om du endast använder några, då borde det stämma. Däremot måste du då dela upp fallen i "innehåller två E:n", där dubletterna måste räknas bort, och "innehåller max ett E", där det inte finns några dubletter. :)
Smutstvätt skrev:Hmmm, jo egentligen. Dock brukar man utgå ifrån att man använder alla bokstäver. Men, om du endast använder några, då borde det stämma. Däremot måste du då dela upp fallen i "innehåller två E:n", där dubletterna måste räknas bort, och "innehåller max ett E", där det inte finns några dubletter. :)
okej tack så mycket!
Varsågod! :)
