Förstå definitionen för arbete

Jag har lite svårt att tyda din fråga 1 men börjar med fråga 2 och 3 så kanske det klarnar litegrann iallafall.

Fråga 2: Kraften som vi arbetar mot måste ha en komposant som är motriktad för att arbete ska ske (en kraft med en medriktad komposant kommer ge upphov till negativt arbete, dvs vi får energi av rörelsen.)

Fråga 3: Det är helt enkelt en konvention. Man vill att arbetet blir positivt då vi jobbar mot kraften, därav minustecknet.

Kom ihåg att en skalärprodukt mellan två vektorer blir maximal när de är riktade åt samma håll, minimal (samma belopp som maximal fast med minustecken) när de är motriktade och 0 om de är vinkelräta. Detta kan du se på den formel du skrev upp där du tog med theta som är vinkeln mellan vektorerna.

Exempel: Tyngdkraften är riktad nedåt. En rörelse uppåt kommer då bli ett positivt arbete. En rörelse nedåt kommer bli ett negativt arbete, dvs vi får rörelseenergi. En rörelse parallellt med jordens yta kommer inte ge upphov till något arbete eftersom vi inte går mot kraftriktningen.

Tack för så snabbt svar!

Jag inser nu också att min första fråga är väldigt förvirrad, så jag ska försöka formulera den bättre:

Först och främst, så att jag förstår det ordentligt, $dx, dy$ och $dz$ är sträckan $ds$ komposanter, visst är det så?

I boken står det att skalärprodukten i högerledet i arbetets definition kan skrivas på följande vis:

$\displaystyle F\bullet \mathrm{d}s=F_{x}\mathrm{d}x+F_{y}\mathrm{d}y+F_{z}\mathrm{d}z$

Men enligt så som jag förstod vad en skalärprodukt var tidigare skulle man kunna skriva skalärprodukten i högerledet så här:

$\displaystyle F\bullet\mathrm{d}s=|F||\mathrm{d}s|\cos\theta=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}\sqrt{\mathrm{d}s_{x}^{2}+\mathrm{d}s_{y}^{2}+\mathrm{d}s_{z}^{2}}\cos\theta$

Jag lyckas inte se hur dessa två uttryck är samma. Antagligen har jag missförstått någonting eller så finns det någon omskrivning jag inte ser.

Kraften som vi arbetar mot måste ha en komposant som är motriktad för att arbete ska ske (en kraft med en medriktad komposant kommer ge upphov till negativt arbete, dvs vi får energi av rörelsen.)

Men om man hade puttat en låda i ett helt "kraftlöst" system, typ i ett helt tomt vakum, så att den hade fått en fart och därmed rörelseenergi, hade vi inte uträttat något arbete då? För det finns ju ingen "motkraft".

Är detta fysik 2 ???

naytte skrev:

Först och främst, så att jag förstår det ordentligt, $dx, dy$ och $dz$ är sträckan $ds$ komposanter, visst är det så?

Yes

$\displaystyle F\bullet \mathrm{d}s=F_{x}\mathrm{d}x+F_{y}\mathrm{d}y+F_{z}\mathrm{d}z$

Men enligt så som jag förstod vad en skalärprodukt var tidigare skulle man kunna skriva skalärprodukten i högerledet så här:

$\displaystyle F\bullet\mathrm{d}s=|F||\mathrm{d}s|\cos\theta=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}\sqrt{\mathrm{d}s_{x}^{2}+\mathrm{d}s_{y}^{2}+\mathrm{d}s_{z}^{2}}\cos\theta$

Jag lyckas inte se hur dessa två uttryck är samma.

Jag är faktiskt inte helt säker på hur vi algebraiskt ser att de två uttrycken är lika, jag överlåter det till någon annan, eller så får du kika på YT. Ett möjligt sett att se likheten är genom att kvadrera båda led och se om du kommer vidare... Men det viktiga är iallafall att det är två olika sätt att skriva samma sak på.

Men om man hade puttat en låda i ett helt "kraftlöst" system, typ i ett helt tomt vakum, så att den hade fått en fart och därmed rörelseenergi, hade vi inte uträttat något arbete då? För det finns ju ingen "motkraft".

Då utsätter vi lådan för en kraft. Det måste inte vara ett yttre kraftfält som arbetet uträttas i, utan alla krafter på objekt som färdas en sträcka icke vinkelrät till kraften bidrar till arbete.

Jag är faktiskt inte helt säker på hur vi algebraiskt ser att de två uttrycken är lika, jag överlåter det till någon annan, eller så får du kika på YT. Ett möjligt sett att se likheten är genom att kvadrera båda led och se om du kommer vidare... Men det viktiga är iallafall att det är två olika sätt att skriva samma sak på.

Okej, tack så mycket! Jag ska njuta av denna "visa-att-uppgift" själv ett tag men om jag inte lyckas lösa den får jag väl fuska och googla lösningen.

Då utsätter vi lådan för en kraft. Det måste inte vara ett yttre kraftfält som arbetet uträttas i, utan alla krafter på objekt som färdas en sträcka icke vinkelrät till kraften bidrar till arbete.

Jag tror mitt problem är formuleringen "against a force". Jag förstår att kraften man puttar föremålet "against" i ditt exempel är graviationskraften. Men säg att graviationen inte hade existerat, och den enda kraft som verkade på formemålet var vår "lyftkraft". Skulle vi utövat något arbete då?

Är detta fysik 2 ???

Ingen aning. Antagligen inte, av din reaktion att döma. Men jag visste inte riktigt vilken kategori jag skulle välja. Jag ursäktar om det blev fel.

Jag tror mitt problem är formuleringen "against a force". Jag förstår att kraften man puttar föremålet "against" i ditt exempel är graviationskraften. Men säg att graviationen inte hade existerat, och den enda kraft som verkade på formemålet var vår "lyftkraft". Skulle vi utövat något arbete då?

Ber om ursäkt, verkar som att din tanke här stämmer. Det måste nog vara ett yttre kraftfält som något färdas i. Att flytta ett objekt i vakuum är således inget arbete.

Ingen aning. Antagligen inte, av din reaktion att döma. Men jag visste inte riktigt vilken kategori jag skulle välja. Jag ursäktar om det blev fel.

Den definition av arbete du ger kommer först på mekanik kurser på universitetet :)
(Dock kommer begreppet arbete redan i fysik 1 tror jag, men då med enklare definitioner (W=F*S)).

Flyttar tråden från Fysik 2 till Universitet som bättre beskriver frågans nivå. /Moderator

Förstår, tack så mycket för svar, @Calle_K!

Men då uppstår en annan fråga. I denna "komposantuppdelning" som uppstår till följd av skalärproduktens definition är ju varje term i sig ett arbete, fast "i en riktning?". Hur ska man tolka detta? För arbete är ju egentligen en skalär.

$F_{x}d{s}_x+F_{y}d{s}_y+F_{z}d{s}_z$

Tillägg: 3 nov 2023 17:39

Eller jaha, nu tror jag att poletten föll ned. 

För att ett arbete ska uträttas måste ju kraften vara parallell med föflyttningen, visst är det så? Så i det här fallet delar vi upp såväl förflyttningen som kraften i sina komposanter för att kunna räkna på "arbetet i alla led".

Precis, det stämmer! Bra jobbat.

Och i definitionen talar man om infinitesimala arbeten dw och infinitesimala förflyttningar ds, men egentligen hade man väl lika gärna kunnat tala om $\displaystyle W = -F\bullet s$? 

Eller finns det någon särskild anledningen till att man har med operatorn d i definitionen?

T.ex om du ska titta på arbetet längs en kurva kommer ds att förändras genom kurvan. Dessutom kan F variera beroende på var vi befinner oss. Men sålänge sträckan s är en rak linje och F är konstant går det bra att göra så.

Jämför med dS=V(t)dt och S=Vt.
Den andra formeln gäller bara om hastigheten är konstant. Är den inte den kan vi bara kika på infinitesimala förflyttningar och integrera upp för att få den totala sträckan.

Okej, förstår. Så om vi vill kolla på det totala arbetet över t.ex. en kraft-sträcka-graf kan vi beräkna:

$\displaystyle \int_{a}^{b}-F(s)\mathrm{d}s$

?

Det är i en dimension då såklart. Jag vet inte riktigt hur man skulle göra i fler dimensioner, det finns anteglignen integraler för det också. Men då antar jag att skalärprodukten hade varit kvar också?

I flera dimensioner måste man veta eller bestämma vilken väg (kurva) partikeln rör sig och teckna det matematiskt. Det kallas att göra en parameterframställning. Läget ges som funktion av parameter (oftast tid).

Kurvan kan uttryckas matematiskt så att vid varje tidpunkt $t$ spottar funktionen $\mathbf{r}(t)$ ur sig tre koordinater, x-,y och z.

$\mathbf{r}(4)=(1,2,1)$

betyder alltså att vid tidpunkten $t=4$ befinner sig partikeln i punkten $(1,2,1)$

Kurvan brukar man kallas $\gamma$ och den tangentiella kurvintegralen för fältet $\mathbf{F}$ utmed $\gamma$ tecknas

$\displaystyle \int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}\left(t\right)dt$

Om $\mathbf{F}$ är ett kraftfält, som påverkar en partikel, så är tangentlinjeintegralen ovan det arbete, som utvinns då partikeln förs utefter kurvan $\gamma$ från punkt $\mathbf{r}(a)$ till punkt $\mathbf{r}(b)$.

Tack för ditt utförliga svar!

Men jag är lite fundersam kring faktorn $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\textbf{r}}{\mathrm{d}t}$.

Är $\displaystyle \textbf{r}$ en vektor och en funktion samtidigt?

Ja, $\mathbf{r}(t)$ är en vektorvärd funktion av en variabel, ofta en tidsvariabel. Exempel:

En sten kastas med utgångshastighet $v_{0x},v_{0y}$, om vi bortser från luftmotstånd följer stenen en kastparabel med parametrisering

$\mathbf{r}(t)=\left(v_{0x}t,\,v_{0y}t-\frac12 gt^2\right)$

Funktionen $\mathbf{r}(t)$ tar alltså en parameter in och lämnar  en vektor ut.

Vektorfältet $\mathbf{F}=\mathbf{F}(x,y,z)$ är en vektorvärd funktion av läget. Det kan tänkas att den är olika lång och pekar åt olika håll i olika punkter i  rummet. Ett gravitationsfält blir t.ex. svagare och svagare ju längre bort från källan man kommer.

Funktionen $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ tar alltså en lägesvektor (en punkt i rymden) in och lämnar  en vektor ut.

D4NIEL skrev:

I flera dimensioner måste man veta eller bestämma vilken väg (kurva) partikeln rör sig och teckna det matematiskt. Det kallas att göra en parameterframställning. Läget ges som funktion av parameter (oftast tid).

Kurvan kan uttryckas matematiskt så att vid varje tidpunkt $t$ spottar funktionen $\mathbf{r}(t)$ ur sig tre koordinater, x-,y och z.

$\mathbf{r}(4)=(1,2,1)$

betyder alltså att vid tidpunkten $t=4$ befinner sig partikeln i punkten $(1,2,1)$

Kurvan brukar man kallas $\gamma$ och den tangentiella kurvintegralen för fältet $\mathbf{F}$ utmed $\gamma$ tecknas

$\displaystyle \int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}\left(t\right)dt$

Om $\mathbf{F}$ är ett kraftfält, som påverkar en partikel, så är tangentlinjeintegralen ovan det arbete, som utvinns då partikeln förs utefter kurvan $\gamma$ från punkt $\mathbf{r}(a)$ till punkt $\mathbf{r}(b)$.

Ett tillägg på detta är att om kraftfältet är konservativt <=> har en potential så kommer arbetet var detsamma som arbetet att färda objektet i en rät linje från a till b. Dvs vi kan förenkla kurvan r (hur komplicerad den än må vara) till en enkel rät linje från a till b.

T.ex är gravitationskraften konservativ (det finns en potential som du känner till). Skulle vi förflytta ett objekt runt halva jorden, upp till Mt Everest, tillbaka runt Afrikas horn och slutligen stanna 1 meter bredvid där vi står nu, hade nettoarbetet varit lika stort som om vi gått direkt en meter åt sidan (skulle våran position vara på samma höjd blir alltså nettoarbetet 0).