Förstå beviset för dimensionssatsen

Vi har antagit att dimensionen av V är n, och därmed följer det att V spänns upp av n oberoende (enhets-)vektorer, e₁, ... ,e_n. Därtill har vi även sagt att nollrummet har dimensionen k, och vi kan säga att enhetsvektorerna e₁, ... ,e_k uppfyller att F(e_i) = 0. De vektorer som då spänner upp rummet V är e_k+1, ... , e_n. Vi vill visa att denna mängd vektorer är oberoende, och eftersom $F\left(e_1\right)+F\left(e_2\right)=F(e_1+e_2)$ (vektorrum är linjära), vill vi i princip hitta lambda så att $F({\lambda }_{k+1}{e}_{k+1}+...+{\lambda }_n{e}_n)=0$. För att detta ska vara sant, måste dessa vektorer ligga i nollrummet, vilket de, enligt de antaganden vi gjort, inte gör. Dessa (n - k) vektorer är alltså oberoende, och spänner upp V. Därmed kan vi dra slutsatsen att $\dim \left(V\right(F\left)\right)=n-k=\dim \left(V\right)-\dim \left(N\right(F\left)\right)$.

Smutstvätt skrev:

Vi har antagit att dimensionen av V är n, och därmed följer det att V spänns upp av n oberoende (enhets-)vektorer, e₁, ... ,e_n. Därtill har vi även sagt att nollrummet har dimensionen k, och vi kan säga att enhetsvektorerna e₁, ... ,e_k uppfyller att F(e_i) = 0. De vektorer som då spänner upp rummet V är e_k+1, ... , e_n. Vi vill visa att denna mängd vektorer är oberoende, och eftersom $F\left(e_1\right)+F\left(e_2\right)=F(e_1+e_2)$ (vektorrum är linjära), vill vi i princip hitta lambda så att $F({\lambda }_{k+1}{e}_{k+1}+...+{\lambda }_n{e}_n)=0$. För att detta ska vara sant, måste dessa vektorer ligga i nollrummet, vilket de, enligt de antaganden vi gjort, inte gör. Dessa (n - k) vektorer är alltså oberoende, och spänner upp V. Därmed kan vi dra slutsatsen att $\dim \left(V\right(F\left)\right)=n-k=\dim \left(V\right)-\dim \left(N\right(F\left)\right)$.

Nu blev det självklart! Tack så mycket!

Åh, vad roligt! Varsågod! :)

Hej!

Det är olämpligt att använda beteckningarna $V$ och $V(F)$ då de lätt kan leda till förvirring. Låt därför $F : U \to W$ vara en linjär avbildning från vektorrummet $U$ in i vektorrummet $W.$ 

• Nollrummet $N(F)$ är ett underrum till definitionsrummet $U$ och värderummet $V(F)$ är ett underrum till målrummet $W$. 

Om $e_1,\ldots,e_n$ är en bas för $U$ och $\dim N(F) = k$ så kan varje element i $N(F)$ skrivas som en linjärkombination av $k$ stycken vektorer från denna bas; ordna basvektorerna $e_1,\ldots,e_n$ så att det är de $k$ första vektorerna $e_1,\ldots,e_k$ som spänner upp nollrummet.  

Vektorerna $F(e_1),\ldots,F(e_n)$ ligger alla i värderummet $V(F)$ och de $k$ första i denna lista är alla lika med nollvektorn, så det är endast de återstående $n-k$ stycken  vektorerna som har en chans att utgöra en bas för värderummet. Frågan är om de gör det. För detta behöver man undersöka två saker:

1. Vektorerna $F(e_{k+1}),\ldots,F(e_n)$ är linjärt oberoende.
2. Vektorerna $F(e_{k+1}),\ldots,F(e_n)$ spänner upp värderummet.

Låt $u = a_1e_1+\cdots+a_ne_n \in U$ vara en godtycklig vektor. Vektorn $F(u) = a_1F(e_1)+\cdots+a_nF(e_n)$ ligger i värderummet $V(F)$ och är en linjärkombination av vektorerna $F(e_{k+1}),\ldots,F(e_n)$ (de $k$ stycken första vektorerna är ju nollvektorer), vilket visar att $V(F)$ verkligen spänns upp av vektorerna $F(e_{k+1}),\ldots,F(e_n).$

Låt talen $\lambda_{k+1},\ldots,\lambda_{n}$ vara sådana att den speciella linjärkombinationen $\lambda_{k+1}F(e_{k+1})+\cdots+\lambda_{n}F(e_n)$ är lika med nollvektorn i $V(F).$ Det gäller att visa att detta bara är möjligt om alla talen är lika med noll.  

På grund av att avbildningen $F$ är linjär kan man skriva 

    $0=\lambda_{k+1}F(e_{k+1})+\cdots+\lambda_nF(e_n)=F(\lambda_{k+1}e_{k+1}+\cdots+\lambda_{n}e_n)$

vilket visar att vektorn

    $\lambda_{k+1}e_{k+1}+\cdots+\lambda_ne_n$ ligger i nollrummet $N(F).$

Det betyder att denna vektor kan uttryckas med vektorerna $e_1,\ldots,e_k$ som spänner upp $N(F)$:

    $\lambda_{k+1}e_{k+1}+\cdots+\lambda_n e_n = c_1e_1+\cdots+c_ke_k \implies 0 = c_1e_1+\cdots+c_ke_k + (-\lambda_{k+1})e_{k+1}+\cdots+(-\lambda_n)e_n.$

Men nu var ju $e_1,\ldots,e_n$ en bas för $U$ så den enda möjligheten för denna linjärkombination att vara nollvektorn är om samtliga $c$-tal och $\lambda$-tal är lika med noll. Eftersom alla $\lambda$-talen tydligen är lika med noll så bildar vektorerna $F(e_{k+1}),\ldots,F(e_n)$ en bas för värderummet $V(F)$ vilket betyder att $\dim V(F) = n-k.$

Dimensionssatsen följer nu av det triviala sambandet

    $n = k+(n-k).$

Resultat: Om $F : U \to W$ är linjär avbildning mellan två ändligtdimensionella vektorrum så gäller det

    $\displaystyle\dim U = \dim N(F) + \dim V(F).$

Albiki skrev:

Hej!

Det är olämpligt att använda beteckningarna $V$ och $V(F)$ då de lätt kan leda till förvirring. Låt därför $F : U \to W$ vara en linjär avbildning från vektorrummet $U$ in i vektorrummet $W.$ 

• Nollrummet $N(F)$ är ett underrum till definitionsrummet $U$ och värderummet $V(F)$ är ett underrum till målrummet $W$. 

Om $e_1,\ldots,e_n$ är en bas för $U$ och $\dim N(F) = k$ så kan varje element i $N(F)$ skrivas som en linjärkombination av $k$ stycken vektorer från denna bas; ordna basvektorerna $e_1,\ldots,e_n$ så att det är de $k$ första vektorerna $e_1,\ldots,e_k$ som spänner upp nollrummet.  

Vektorerna $F(e_1),\ldots,F(e_n)$ ligger alla i värderummet $V(F)$ och de $k$ första i denna lista är alla lika med nollvektorn, så det är endast de återstående $n-k$ stycken  vektorerna som har en chans att utgöra en bas för värderummet. Frågan är om de gör det. För detta behöver man undersöka två saker:

1. Vektorerna $F(e_{k+1}),\ldots,F(e_n)$ är linjärt oberoende.
2. Vektorerna $F(e_{k+1}),\ldots,F(e_n)$ spänner upp värderummet.

Låt $u = a_1e_1+\cdots+a_ne_n \in U$ vara en godtycklig vektor. Vektorn $F(u) = a_1F(e_1)+\cdots+a_nF(e_n)$ ligger i värderummet $V(F)$ och är en linjärkombination av vektorerna $F(e_{k+1}),\ldots,F(e_n)$ (de $k$ stycken första vektorerna är ju nollvektorer), vilket visar att $V(F)$ verkligen spänns upp av vektorerna $F(e_{k+1}),\ldots,F(e_n).$

Låt talen $\lambda_{k+1},\ldots,\lambda_{n}$ vara sådana att den speciella linjärkombinationen $\lambda_{k+1}F(e_{k+1})+\cdots+\lambda_{n}F(e_n)$ är lika med nollvektorn i $V(F).$ Det gäller att visa att detta bara är möjligt om alla talen är lika med noll.  

På grund av att avbildningen $F$ är linjär kan man skriva 

    $0=\lambda_{k+1}F(e_{k+1})+\cdots+\lambda_nF(e_n)=F(\lambda_{k+1}e_{k+1}+\cdots+\lambda_{n}e_n)$

vilket visar att vektorn

    $\lambda_{k+1}e_{k+1}+\cdots+\lambda_ne_n$ ligger i nollrummet $N(F).$

Det betyder att denna vektor kan uttryckas med vektorerna $e_1,\ldots,e_k$ som spänner upp $N(F)$:

    $\lambda_{k+1}e_{k+1}+\cdots+\lambda_n e_n = c_1e_1+\cdots+c_ke_k \implies 0 = c_1e_1+\cdots+c_ke_k + (-\lambda_{k+1})e_{k+1}+\cdots+(-\lambda_n)e_n.$

Men nu var ju $e_1,\ldots,e_n$ en bas för $U$ så den enda möjligheten för denna linjärkombination att vara nollvektorn är om samtliga $c$-tal och $\lambda$-tal är lika med noll. Eftersom alla $\lambda$-talen tydligen är lika med noll så bildar vektorerna $F(e_{k+1}),\ldots,F(e_n)$ en bas för värderummet $V(F)$ vilket betyder att $\dim V(F) = n-k.$

Dimensionssatsen följer nu av det triviala sambandet

    $n = k+(n-k).$

Resultat: Om $F : U \to W$ är linjär avbildning mellan två ändligtdimensionella vektorrum så gäller det

    $\displaystyle\dim U = \dim N(F) + \dim V(F).$

Okej, tack så mycket!