Försöker igen med denna jobbiga uppgift. (A- uppgift)

Rita y=x² och y=2x²-5 i Geogebra. Ändra den konstanta termen.

Symmetrilinjen x=0 betyder att $f\left(x\right)=f(-x)$, till exempel för $f\left(x\right)=K·x^2$ är $f\left(2\right)=f(-2)=4K$ och $f\left(3\right)=f(-3)=9K$.

Om $f\left(x\right)=K·x^2+C$ så är $f\left(1\right)=f(-1)=K+C$

Hej, 
Tack för svaret. Jag rita upp ekvationerna i Geogebra och ser att konstant termen -5 är skärningen med y-axeln så som m är i y=kx+m. Men borde då inte ekvationen: $y=2 x^2-5$ ha en symmetrilinje som är -5 och inte 0?

Okej, så...om symmetilinjen ska vara 0, så betyder det att: $f\left(x\right)=f(-x)$
dvs funktionen av x blir funktioner av -x , precis typ "dom tar ut varandra" så det blir ju 0 det förstår jag.

Men.. liksom,  om x= f(y) så är x = x axeln, en funktion av, y = y axeln? så om y=0 då "startar" parabeln vid origo och sträcker sig längst med x-axeln.  så Funktionen av y är 0, och det är då vad x axeln säger typ?

Om jag ska skriva en ekvation till en parabel med symmetrilinjen y=0, men att det ska vara x som en funktion av y. 

Så behöver jag ha en ekvation som visar på att det är en andragradare och att nollstället är 0. och de är väl här jag blir förvirrad. 

I $x=y^2$så ser man att de är en andragradsekvation 
och man ser att x är en funktion av y dvs x=f(y) vilket betyder att grafen/parabeln är "liggande" mellan x-axeln. Men fortfarande hur ser jag att denna har ett nollställe som är 0. 

Om $f\left(x\right)=f(-x)$ blir 0, betyder det då att: $x=f\left(y\right) som blir x=y^2$i uppgiften vidare 
ska ses som typ att: $y^2 ska ses som f\left(y\right)= f(-y)$ och därför förstår man att $x=y^2$
har en symmetrilinje som är 0 ? 

Hänger inte riktigt med de de där andra. $f\left(x\right)= K · x^2$
står K för lutningen som i y=kx+m, eller vad är de där för något? Vet inte om jag sett de där.

$y=2x^2-5$ har symmetrilinjen $x=0$ precis som $y=x^2$.

Om man ska ha en parabel $x=y^2$ så har den symmetrilinjen $y=0$ och även andra parabler med ekvationen $x=K·y^2+C$.

Glöm $\text{k}x+\text{m}$ när det gäller funktioner med $x^2$. De går inte ihop.

En andragradsfunktion behöver man se på ett annat sätt: $y=a{(x-b)}^2+c=a{x}^2-2abx+\left(a{b}^2+c\right)$.

Om $a>0$ så har du en glad gubbe, om $a<0$ så har du en ledsen gubbe. $b$ förskjuter funktionen i sidled och $c$ upp och ner.

Byter man plats på x och y, $x=A{\left(y-B\right)}^2+C$, så kommer A ändra åt vilket håll parabelns grenar växer, B om det skjuts till höger eller vänster och C om den åker upp eller ner.

Tack för bilden, det gör det hela enklare.

Jag tänker ju att symmetrilinjen är linjen i mitten av parabeln. Och varje parabel "står" ju "i mitten" av ett värde: Ex  $x=y^2+2$står på 2, så hur kommer de sig att symmetrilinjen är 0 här och inte 2?

Om jag ska ge koordinaten för symmetrilinjen till alla de ekvationerna du visat, så tänker jag... (utgår INTE från ekvationen, tittar enbart på parabeln)

$x=y^2-3$
Blir då: (x,y)(-3,0)?

$x=y^2$
Blir då: (x,y)(0,0)?    

$x=y^2+2$
Blir då: (x,y)(2,0)?

Så kan man då säga att $x=y^2$ är samma som (om jag skriver ut 0:an) $x=y^2+0$?


Jag förstår att det är olika. Men tänkte att "det tänket" (dvs y=kx+m, med K=lutning och m=skärningen med y-axeln) kanske kunde på något vis vara lite lika med andragradare. Det jag ser är ju att konstanten i alla de andragradsekvationer är skärningen med NU x axeln (likt m värdet som är en konstant i y=kx+m). Det blir nu en skärning med x-axeln då det är en funktion av y istället för en funktion av x. Annars hade det nog varit tvärtom dvs, om de stod: $y=x^2$ då hade parablerna "suttit" på y-axeln om jag förstått de hela rätt?

Så uppgiften vill ha en ekvation till en parabel som har en symmetrilinjen som ska vara y=0 i en andragradare, så då blir det $y^2$ för att.... liksom för att.. $f\left(x\right)=f(-x)$och om $x=y^2$

så betyder de här att x =-y eller? vet inte.. jag förstår fortfarande inte riktigt hur $x=y^2$ visar på en symmetrilinje som är 0.

Om jag hade $x=y^2+0$ hade jag tänkt okej så parabeln ska skära vid origo där är också y=0. och där är symmetrilinjen 0. För mig så visar ekvationen $x=y^2$ inte det, så blir förvirrad, för jag förstår inte vad exakt $y^2$ visar på i någon av ekvationerna, men än att det är en andragradare de rör sig om liksom = /




Uppgifter säger:
"Ge ex på en ekvation till en parabel med symmetrilinje y=0." 
Om jag svarar: $x=y^2+2$
så vet man att parabeln skär x-axeln där det står 2.
 

Jag tror att vi ska backa lite och försöka klargöra begreppet symmetrilinje.

Du undrar på ett ställe varför symmetrilinjen i ett fall inte är 2 och på ett annat ställe om inte koordinaterna för symmetrilinjen i ett annat fall är (-3, 0). Men:

• Talet 2 beskriver ett tal, inte en linje.
• Koordinaterna (-3, 0) beskriver en punkt, inte en linje.

För en linje gäller följande:

• En vertikal linje beskrivs av ekvationen x = a, där a är ett tal.
• En horisontell linje beskrivs av ekvationen y = b, där b är ett tal.

En symmetrilinje beskrivs alltså varken av ett tal eller en punkt, utan av en ekvation.

========

Hur ska man då göra för att bestämma symmetrilinjens ekvation?

Det går att göra på flera olika sätt.

Algebraiskt:

Om du känner till ekvationen y = ax²+bx+c för en "stående" parabel så gäller det att symmetrilinjen är x = -b/(2a).

Känner du igen detta uttryck någonstans ifrån? (Tips: Titta efter lösningsformeln för andragradsekvationer i ditt formelblad.)

På samma sätt för en "liggande" parabel, om du känner till ekvationen x = ay²+by+c så är symmetrilinjen y = -b/(2a).

Grafiskt:

Om du har en bild av en parabel så kan du rita en linje som delar parabeln i två spegelvända delar. Denna linje, som alltid går genom parabelns extremvärde, är just symmetrilinjen.

Du kan sedan ta fram symmetrilinjens ekvation med hjälp av din bild.

=======

Läs gärna detta matnyttiga avsnitt om andragradsfunktioner, andragradsekvationer, nollställen och symmetrilinje.

=======

För att lösa en uppgift där du fått en symmetrilinje y = 0 given och de efterfrågar ett andragradsuttryck så kan du använda ovanstående resonemang "baklänges".

Typ så här:

Algebraiskt:

Du vet att parabelns ekvation är x = ay²+by+c.

Du vet att symmetrilinjen är y = -b/(2a) och att symmetrilinjen är y = 0.

Det ger dig att 0 = -b/(2a), dvs att b = 0.

Ekvationen blir då alltså x = ay²+c, där du kan välja a och c fritt.

Grafiskt:

Rita symmetrilinjen, dvs rita linjen y = 0.

Konstruera en parabel som är symmetrisk med avseende på denna linje. T.ex. en parabel som har sin extrempunkt vid x = 1 och som "går åt höger".

Denna parabel har då ekvationen x = ay²+1.

========

Blev det lite tydligare då?

Hej, tack för svaret. Det var tydligare tack för det. Skrev upp en del av det du skrev i mitt häfte.
Men har några frågor.

En vertikal linje beskrivs av ekvationen x=a (där a är ett tal), menar du då x axelns tal?
En horisontell linje beskrivs av ekvationen y=b (där b är ett tal), menar du då y axelns tal?

För då hänger jag med mycket bättre, då förstår jag att ekvationerna ovan ( i de andra svaret jag fick) får en symmetrilinje som är 0.

Fråga vid uträkningen algebraiskt. 

om jag utgår från "de vanliga", dvs $y=a{x}^2+bx+c$

y i V.L: visar på att, om ekvationen ska tolkas grafiskt så ska den ritas "stående". Vilket betyder att om ekvationen såg ut så här: $x=a{y}^2+by+c$ så skulle ekvationen ritas "liggandes"
 
a i H.L: visar på om parabeln är ledsen eller glad. dvs om a är positiv så har parabeln en glad mun, men kan ha både positiva eller negativa världen beroende på vart i koordinatsystemet parabeln ritas. om a är negativ dvs -a så har parabeln en ledsen mun men kan även här ha både positiva och negativa värden beroende på vart i koordinatsystemet parabeln ritas. Så a=positiv=glad parabel, -a=negativ, ledsen parabel. 

$x^2$i H.L: vad representerar den i grafen? algebraiskt så förstår jag att det visar på att det är en andragradsekvation och att det då ska ritas en parabel är det allt den symboliserar?

b konstanten i H.L: Symboliserar denna symmetrilinjen i grafen?, är detta b samma b som finns i ekvationen för symmetrilinjen dvs $x=\frac{-b}{\left(2a\right)}$

bx i H.L dvs Xet: vad symboliserar den, x-axeln? tänker då bx sitter ihop. Om b är symmetrilinjen så borde symmetrilinjen sitta symmetriskt kring x-axeln om ekvationen är $y=a{x}^2+bx+c$
om det stod $x=a{y}^2+by+c$ så hade det by betytt att värdet för symmetrilinjen ska sitta på y-axeln? så tänker jag, är de rätt?

c i H.L: Vart parabeln skär i y-axeln. 


Så när du skriver att ekvationen blir $x=a{y}^2+c$ och att man kan välja a och c fritt.
Så betyder det att:

by: är 0y där 0 är symmetrilinjen och y är y-axeln? man skulle kunna skriva ekvationen: $x=a{y}^2+0y+c$
a: är hur parabeln ser ut? men här kan man inte välja mellan ledsen eller glad mun här ska parabeln vara glad för a är positiv? 
c: är där parabeln skär x-axeln, något den måste om symmetrilinjen ska vara 0. 

Så: $x=y^2+2$ visar på att parabeln ska vara "en liggande", och symmetrilinje är 0, då bx eller då by inte finns i med i ekvationen och att parabeln skär x-axeln där x=2 har jag förstått det rätt?

Ekvationen $x=y^2$ är då en ekvation som visar att parabeln ska vara en "liggande", parabeln. Som inte har by så symmetrilinjen är 0, dvs b=0 och y betyder y-axeln, något man inte behöver skriva till om symmetrilinjen ska vara 0, för bara ett y där hade ju betytt 1. parabeln har inget c så den skär inte x-axeln någonstans, utan skär origo då de enda som finns är informationen $x=y^2$ vilket jag tänker i mitt huvud betyder "en liggande parabel, där symmetrilinjen måste vara 0 då 0 inte är något man behöver skriva ut i ekvationen och inte syns här och kan vara "osynlig" och skärningen med x-axeln ser jag inte så den existerar inte, vilket betyder att om jag ska ha en symmetrilinje som är 0 så behöver parabeln skära vid origo för hade jag ritat upp en parabel som skär x-axeln vid exempelvis 4 så hade ekvationen inte varit $x=y^2 u\tan x=y^2+4$


En sista grej:
Jag försökte räkna ut stegvis hur man kan använda sig av formeln: $y=\frac{-b}{\left(2a\right)}$
vilket blir till en "liggande" symmetrilinje  då de står y. Men du skrev att y=0 och b=y så om jag försöker räkna detta:

$y=\frac{-b}{\left(2a\right)}$

$y=\frac{-0}{\left(2a\right)}$

$y=\frac{0}{\left(2a\right)}$

och här fastnar jag något, vad är 2a i nämnaren för något? och hur räknar man fram en symmetrilinje som är 0 genom att sätta in 0 istället för b, när 2a finns i nämnaren?




 

Jag delar upp svaret i flera delar och försöker citera den del av ditt inlägg som jag besvarar. (Fortsättning följer).

Naturens skrev:

[...]
En vertikal linje beskrivs av ekvationen x=a (där a är ett tal), menar du då x axelns tal?
En horisontell linje beskrivs av ekvationen y=b (där b är ett tal), menar du då y axelns tal?

 

Ja, om du med

• "x-axelns tal" menar x-värdet där linjen skär x-axeln

• "y-axelns tal" menar y-värdet där linjen skär y-axeln.

Exempel (se bild):

• Den vertikala (lodräta) röda linjen har ekvationen x = 3 eftersom den skär x-axeln vid x = 3.
• Den horisontella (vågräta) blåa linjen har ekvationen y = -1 eftersom den skär y-axeln vid y = -1.

[...]
För då hänger jag med mycket bättre, då förstår jag att ekvationerna ovan ( i de andra svaret jag fick) får en symmetrilinje som är 0.
[...]

Du kan inte säga att "symmetrilinjen är 0".

0 är bara ett tal, ingen linje.

• Om du menar att symmetrilinjen sammanfaller med x-axeln så är symmetrilinjen y = 0.
• Om du menar att symmetrilinjen sammanfaller med y-axeln så är symmetrilinjen x = 0.

Tack, precis det var så jag mena på de frågorna. 

Naturens skrev:

[...]
Fråga vid uträkningen algebraiskt. 

om jag utgår från "de vanliga", dvs $y=a{x}^2+bx+c$

y i V.L: visar på att, om ekvationen ska tolkas grafiskt så ska den ritas "stående". Vilket betyder att om ekvationen såg ut så här: $x=a{y}^2+by+c$ så skulle ekvationen ritas "liggandes"

Ja det stämmer (om den horisontella koordinataxeln kallas x och den vertikala koordinataxeln kallas y).

a i H.L: visar på om parabeln är ledsen eller glad. dvs om a är positiv så har parabeln en glad mun, men kan ha både positiva eller negativa världen beroende på vart i koordinatsystemet parabeln ritas.

Ja, om du pratar om y =ax²+bx+c så stämmer det. Dessutom visar talet a vilken form/skålning parabeln har. Om a till beloppet är stort så är parabeln "djup". Om a till beloppet är litet så är parabeln "grund".

Titta gärna här. Dra i reglaget som kallas a så ser du hur det påverkar parabelns form.

om a är negativ dvs -a så har parabeln en ledsen mun men kan även här ha både positiva och negativa värden beroende på vart i koordinatsystemet parabeln ritas. Så a=positiv=glad parabel, -a=negativ, ledsen parabel. 

Här vill jag påpeka att -a inte alltid är ett negativt tal. Följande gäller:

• Om a är ett positivt tal så är -a ett negativt tal, dvs om a > 0 så är -a < 0. 
• Om a är ett negativt tal så är -a ett positivt tal, dvs om a < 0 så är -a > 0. 

$x^2$i H.L: vad representerar den i grafen? algebraiskt så förstår jag att det visar på att det är en andragradsekvation och att det då ska ritas en parabel är det allt den symboliserar?

x kallas för den oberoende variabeln.  Man ersätter x med ett värde och får då ut ett motsvarande y-värde. Punkten (x, y) ligger på parabeln.

b konstanten i H.L: Symboliserar denna symmetrilinjen i grafen?, är detta b samma b som finns i ekvationen för symmetrilinjen dvs $x=\frac{-b}{\left(2a\right)}$

[...]

Ja, b har med parabelns horisontella position att göra, vilket i sin tur påverkar symmetrilinjens placering, men symmetrilinjens placering beror både på a och b enligt formeln du skrev.

Titta gärna här. Dra i reglaget som kallas b och se hur det påverkar parabelns och därmed symmetrilinjens placering.

Om du även drar i reglaget som kallas a så ser du att även a påverkar symmetrilinjens placering.

Tack, jätte bra svar fick jag.
Bara en grej på $x^2$på "om man sätter in ett x värde på x så räknar du då fram y" Liksom visst menar du som en vanlig ekvation man räknar ut, dvs sätter jag in ett värde på x så får jag om jag räknar ut vad allt de blir, ett värde som då ska va y?

Ja, det stämmer.

Tack då förstår jag den delen med. 

Men hur skulle du räkna symmetrilinjens ekvation med ett värde?

Jag är lite osäker på vad du menar med "ett värde", men jag kan ta några exempel.

Om andragradsfunktionen är

• $y=5x^2+3x-7$ så är symmetrilinjens ekvation $x=-\frac{3}{2\cdot5}=-\frac{3}{10}$
• $y=x^2-4x$ så är symmetrilinjens ekvation $x=-\frac{-4}{2\cdot1}=2$
• $y=3x^2+7$ så är symmetrilinjens ekvation $x=-\frac{0}{2\cdot3}=0$

Var det svar på din fråga?

De här var så bra hjälp, TACK. Fråga dock på ekvation 2, ska svaret inte bli -2? 

Nej, om andragradsfunktionen är $y=x^2-4x$ så är $a=1$ och $b=-4$.

Eftersom symmetrilinjen är $x=-\frac{b}{2a}$ så blir den i det här fallet $x=-\frac{-4}{2\cdot1}=-\frac{-4}{2}=-(-2)=2$

Jätte tack för förklaringarna.

Varsågod.

Har du fortfarande några frågor kring detta som du vill få besvarade så kör på bara.

Tror jag känner mig rätt ok med förståelsen nu. Vart massa andra frågor kring runt uppgiften, men de behövdes, tack för att du såg det! Ska försöka hinna med att räkna om denna uppgift imorgon, och se över mina anteckningar från infon jag fått här om jag skulle fastna : )

OK bra. Läs gärna det avsnitt jag länkade till I svar #7 nu när du har fått större förståelse för grundbegreppen.