Försöker förstå kvadratiska formen, optimering fler variabler.

Hej, vill ha lite hjälp med att förstå kriterium för att en kvadratiska funktion är positivdefinit, negativdefinit eller indefinit.

Jag fick ett exemple som slutade med funktionen: (vi ha satt in koordinatorna (-1,1,1) som hittades från partiella derivator).

$Q = 2 h^{2} - 4 k^{2} + 8 l^{2} + 8 h k + 16 k l$

Slutsatsen var att eftersom vi vår båda positiv och negativ, Q är indefinit och därmed (-1,1,1) är en sadelpunkt. Dvs.

$Q (h, 0, 0) = 2 h^{2} > 0 Q (0, k, 0) = - 4 k^{2} < 0$

Hur måste funktionen ser ut om vi kan dra slutsatsen att det är pos.def eller neg.def? Är det att alla koefficienterna ska vara positiva respektiv negativa?

Tack på förhand!

Okej ha jag rätt med följande.

$Q (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + x y + x z + y z$

partiell derivera för att hitta kritiska punkter (löst systemet och få (0,0,0))

partiella derivator:

$f_{x} = 2 x + y + z f_{y} = 2 y + x + z f_{z} = 2 z + x + y$

derivera igen:

$f_{x x} = 2 f_{y y} = 2 f_{z z} = 2 f_{x y} = 1 f_{x z} = 1 f_{y z} = 1$

Då kan vi skriva på kvadratiska formen: (obs ingen x,y,z så koordinatorna påverka inte ekvationen)

$Q (h, k, l) = 2 h^{2} + 2 k^{2} + 2 l^{2} + 2 h k + 2 k l + 2 h l$

Vi observerar att alla koefficienter är positiv och därmed Q kommer vara positiv så vi kan dra slutsatsen att Q är positivdefinit vilket medför att stationära punkten (0,0,0) är en min punkt.

Har jag använt rätt logik och analys på slutet för att säga att Q är positiv definit?

Svara