Förskjutna sinus och cosinus kurvor

För att kurvorna $sin(x_1)$ och $sin(x_2-45)$ ska sammanfalla måste det gälla att $x_1=x_2-45$.

Det innebär att $x_2=x_1+45$, dvs att $x_2$ ligger 45° till höger om $x_1$.

Snyggt. I like!

Jag minns det där som förvirrande också. Man tycker att ett minus flyttar till vänster, och det känns konstigt alltihop. Jag tror att jag kanske kan reda ut det med ett enklare exempel.Om x pekar på ett tal, t.ex 0, och man lägger till 2, då pekar det på x+2 som ligger till höger. 

Det är nog därifrån intuitionen att det "flyttar till höger" kommer. Ett annat exempel tror jag kan förklara vad som händer. Anta att vi tittar på ekvationen $x=0$

Tänk på vad som händer om vi försöker flytta till höger på samma sätt, genom att ändra till $x+2=0$

Av någon anledning har punkten där det är sant flyttats till vänster istället för till höger. Vi kan förstå det genom att beskriva samma ekvation som tidigare på en ny axel där värdet på "x-axeln" är $x+2$ istället.

Liknande konstiga saker händer med x-y grafer. Man råkar först ut för det här "fenomenet" när man tittar på $\sin \left(\right)$ funktioner och fasförskjutningar, men beteendet kan ses i en enkel $y=x$ graf för en rät linje också:

Ett sätt att beskriva vad som händer är att säga att det vi tittar på är x-värdet, men det vänsterledet av ekvationen ser är (x+2), som redan när x är 0 ser det "som om" x var 2. Speciellt ser man att i ett uttryck som $\sin (x+\vartheta )$ så kommer det $\sin \left(\right)$-funktionen "tittar på" att vara $x+\vartheta$, men det du ser på x-axeln är $x$.

Om det känns förvirrande att prata om ekvationer när man i själva verket tycker att man "ritar en funktion" så kan man tänka på att kurvan man ritar är mängden av punkter där ekvationen är uppfylld.

Jag hoppas att den där beskrivningen i bästa fall ger ett annat perspektiv och gör det lättare att förstå varför saker "flyttar åt fel håll".

Jo, tack så mycket för synpunkten!

Jag också brukar tänka att (x+2) is "the new black'', alltså att $\left(x+\partial \right)$ är den nya noll eller start punkt.