Formen på en egenvektorer hos en companion matrix

Hej,

Jag undrar om det finns något existerande bevis för att en companion matrix har egenvektorer på formen $x=[1,\lambda,\lambda^2,...,\lambda^{k-1}]^T$ där $\lambda$ är egenvärdet. A nedan är en companion matrix:

Jag försökte att visa detta genom att jämföra $Ax$ och $\lambda x$ , då $Ax=\lambda x$ , men får då följande:

$Ax=[1,\lambda, \lambda^2, \lambda^3\,...,(-a_k)+(-a_{k-1})\lambda+(-a_{k-2})\lambda^2+...+(-a_1)\lambda^{k-1}]^T$

$\lambda x=[\lambda,\lambda^2,\lambda^3,...,\lambda^k]^T$

Men ser inte hur dessa kan vara lika? Är det något som jag har missat? Undrar också därför om det redan finns ett bevis för detta som man kan titta på?

Jag får

$A x = [λ, λ^{2}, . . ., λ^{k - 1}, - (a_{k} + a_{k - 1} λ + . . . + a_{1} λ^{k - 1})]$

Så det finns två problem:

för det första har du slarvat i matrismultiplikationen, det förklarar varför de k-1 första elementen inte överensstämmer.

För sista termen behöver du alltså visa

$- (a_{k} + a_{k - 1} λ + . . . + a_{1} λ^{k - 1}) = λ^{k}$

det vill säga du behöver visa att

$a_{k} + a_{k - 1} λ + . . . + a_{1} λ^{k - 1} + λ^{k} = 0$

för alla egenvärden $λ$ . Men i allmänhet är egenvärdena nollställen till det karakteristiska polynomet, så vad du behöver visa är att

$a_{k} + a_{k - 1} λ + . . . + a_{1} λ^{k - 1} + λ^{k}$

är matrisens karaktäristiska polynom.

Smutsmunnen skrev:
Jag får

$A x = [λ, λ^{2}, . . ., λ^{k - 1}, - (a_{k} + a_{k - 1} λ + . . . + a_{1} λ^{k - 1})]$

Så det finns två problem:

för det första har du slarvat i matrismultiplikationen, det förklarar varför de k-1 första elementen inte överensstämmer.

För sista termen behöver du alltså visa

$- (a_{k} + a_{k - 1} λ + . . . + a_{1} λ^{k - 1}) = λ^{k}$

det vill säga du behöver visa att

$a_{k} + a_{k - 1} λ + . . . + a_{1} λ^{k - 1} + λ^{k} = 0$

för alla egenvärden $λ$ . Men i allmänhet är egenvärdena nollställen till det karakteristiska polynomet, så vad du behöver visa är att

$a_{k} + a_{k - 1} λ + . . . + a_{1} λ^{k - 1} + λ^{k}$

är matrisens karaktäristiska polynom.

Tack! Nu förstår jag!

Jag gjorde detta och kom så långt som att börja avgöra determinanten av $\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 & ... & 0 \\ . & . & . & ... & . & . \\ . & . & . & ... & . & . \\ -a_k & -a_{k-1} & -a_{k-2} & ... & -a_2 & -a_1-\lambda\end{pmatrix}$ men jag hittar inget sätt på hur man kan få fram formen på determinanten av detta? Jag tänkte först på en triangulär matris men kan inte hitta ett sätt att få denna till en sådan.

Observera att om du stryker första raden och första kolumnen i en (n+1)x(n+1) companion matrix så får du en nxn companion matrix. Det antyder att induktion borde fungera.

Jag har inte jobbat igenom några detaljer men induktion och utveckling av determinanten längs första raden borde leda till lösning.

Tack Smutsmunnen för din hjälp! Genom att repetera induktion fick jag nu till det, stort tack!

Svara

Visa senaste svar