formen a + bi

Du söker ett $z$ sådant att $z^2=i$.

Det här går att lösa på olika sätt.

1. Grafiskt: Markera talet $i$ i det komplexa talplanet. Använd att $Abs$ $z^2=$ $(Abs$ $z)^2$ och att $Arg$ $z^2=$ $2\cdot Arg$ $z$.
2. Algebraiskt: skriv talet $i$ på polär form och använd de Moivres formel för att bestämma det $z$ som uppfyller villkoret $z^2=i$

Vad kom du fram till?

Det finns två lösningar.

Yngve skrev:

Vad kom du fram till?

Det finns två lösningar.

z= $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}$

och z = $\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}$

Vilken metod använde du?

Har du kontrollerat dina svar genom att beräkna $z^2$ i de båda fallen?

Yngve skrev:

Vilken metod använde du?

Har du kontrollerat dina svar genom att beräkna $z^2$ i de båda fallen?

jag använde mig av de moivres formel, och jag har kontrollerat mina svar med facit och det stämde :-)

Kolla facit igen! Jag tycker det ser ut att vara ett korrekt och ett felaktigt värde du har fått fram.

bellisss skrev:

jag använde mig av de moivres formel, och jag har kontrollerat mina svar med facit och det stämde :-)

När du sitter på provet har du inget facit att kontrollera mot. Du bör därför träna på att själv kontrollera dina svar.

I det här fallet är det enkelt:

1. Är $(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}})^2$ lika med $i$?
2. Är $(\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}})^2$ lika med $i$?

Och hur gjorde du när du använde de Moivres formel? Kanske är det något här vi behöver slipa på.

Yngve skrev:

bellisss skrev:

jag använde mig av de moivres formel, och jag har kontrollerat mina svar med facit och det stämde :-)

När du sitter på provet har du inget facit att kontrollera mot. Du bör därför träna på att själv kontrollera dina svar.

I det här fallet är det enkelt:

1. Är $(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}})^2$ lika med $i$?
2. Är $(\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}})^2$ lika med $i$?

Och hur gjorde du när du använde de Moivres formel? Kanske är det något här vi behöver slipa på.

r^2(cos 2v + isin2v) = 1(cos90 + isin90)

Och sen därifrån löste jag ut v, och kunde sen skriva rötterna till ekvationen. 

När jag väl kontrollerade mitt svar så fick jag i på den första lösningen, och -i på den andra lösningen. 

Smaragdalena skrev:

Kolla facit igen! Jag tycker det ser ut att vara ett korrekt och ett felaktigt värde du har fått fram.

nu insåg jag att det fattades ett minus tecken i mitt svar, tack!

bellisss skrev:

nu insåg jag att det fattades ett minus tecken i mitt svar, tack!

OK bra, men ser du även vad du gjorde för fel när du skulle lösa ekvationen r^2(cos(2v) + isin(2v)) = 1(cos(90) + isin(90))?

Yngve skrev:

bellisss skrev:

nu insåg jag att det fattades ett minus tecken i mitt svar, tack!

OK bra, men ser du även vad du gjorde för fel när du skulle lösa ekvationen r^2(cos(2v) + isin(2v)) = 1(cos(90) + isin(90))?

nja, inte riktigt tror jag.

Sätt $z=r\cdot (\cos(v)+i\cdot\sin(v))$

Då är $z^2=r^2\cdot (cos(2v)+i\cdot\sin(2v))$

Eftersom $i=1\cdot (\cos(90^{\circ})+i\cdot\sin(90^{\circ}))$ så blir ekvationen

$1\cdot (\cos(90^{\circ})+i\cdot\sin(90^{\circ}))=r^2\cdot (cos(2v)+i\cdot\sin(2v))$

För att ekvationen ska vara uppfylld krävs det dels att $r^2=1$ (dvs att $r=1$), dels att $2v=90^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$ (dvs att $v=45^{\circ}+n\cdot180^{\circ}$).