Formel som beskriver arean

Ska du ha 2 eller 3 dimensioner? Börja med en bra bild.

Jag vet inte om det är 2 eller 3 dimensioner, men så här ser bilden iaf ut.

Finns det inte någon som kan hjälpa till med den här frågan? Innebär bredd 12 cm att 3x=12? Då blir x 4 dm, men det säger ingenting om längden på plåtburken? Hur ska jag få fram en ekvation för arean när jag bara vet att en sida är x dm?

Kan du lägga in en bild av uppgiften? Jag kan inte tolka den! Vad menas med area för en låda?

Jag har ju redan lagt in en bild! Lådan är rektangulär med tre sidor (utan tak). Det blir 3 sidor med höjden x. Bredden på plåtbiten var 12 dm²

En bild av själva uppgiften, bad jag om! Så som den är formulerad i ditt förstainlägg är den obegriplig. Vi vet hur lång plåten är åt ena hållet, men inte andra hållet.

<<Av en 12 dm bred plåt bockar vi en öppen ränna med rektangulär tvärsnittsarea, y dm². 

Ställ upp en formel för den funktion som beskriver arean, y dm², och ange funktionens definitionsmängd och värdemängd.>>

Höjden och bredden är inte nödvändigtvis lika. Bestäm dig för en av dem och kalla den x.

Kan vi inte få bilden av uppgiften som Smaragdalena ber om.
Det du skrev i #1 och i #8 är rätt olika.
Består lådan, dvs rännan (gjorde det lite tydligare), av en botten och två uppvikta sidor? Det är inte vad du ritade.
Är 12 dm ett mått som fördelar sig på x (höjden), x och 12 - 2x (botten)?
I så fall får vi en tvärsnittsarea y som en funktion av höjden x.

Med andra ord, är figuren så här?

Jag förstår inte hur man kan beräkna arean på rännan med 2 uppvikta sidor då vi bara vet bredden på figuren? Vad ska vi kalla längden på figuren? Arean måste ju bli 12 dm × längden? Hur kan man uttrycka arean y som en funktion av höjden x?

Stämmer min figur med uppgiften? Du har fortfarande inte visat oss en bild av den.

Om den stämmer och om det är tvärsnittsarean som ska beskrivas med en formel, behövs inte rännans längd.
Tvärsnittsarean är arean av rektangeln längst fram i figuren.
Den har höjden x dm (enligt vad du skrev i #1), och om plåten som rännan tillverkas av är 12 dm bred blir bredden 12-x-x dm som jag skrivit in i figuren.
Det är bara att multiplicera de uttrycken för att få arean y.

Tvärsnittsarean är alltså arean av rektangeln längst fram i figuren. 

Svar: Tvärsnittsarean y dm²= x(12-2x) =

= (12x-2x²)dm². 

Ja. Sedan ska du  ange funktionens definitionsmängd och värdemängd.

Definitionsmängd borde bli:  0<x<11 (hela tal). Men värdemängd förstår jag inte riktigt, räcker det att säga att y=12, eller att y=(12-2x)x dm²? 

Definitionsmängden är vilka värden x kan ha. Det behöver inte vara heltal.
Men tänk på att x är rännans höjd och att du har x på båda sidorna. 

Uppenbarligen är y>0 men du måste ta reda på funktionens maximivärde.
Tänk på parabelns egenskaper, du har nollställena.

Räcker det att säga att 0<x<12? För funktionens max:

Y'(x)=0 = 12-4x, vilket ger x=3. Sen y(3)=12(3)-2(3)² = 36-18=12. Men det visste vi ju redan från början! Blir det isf 0<x<12, 0<y<12?

Snälla hjälp mig, jag förstår verkligen inte hur jag ska komma vidare!

x som är ena sidans höjd kan inte vara (nästan) lika med plåtens bredd. Se på figuren.

36 - 18 är 18, inte 12, annars har du rätt vad gäller värdemängden.

Att derivera går naturligtvis bra. Vi kan ockå få y_max för x-värdet mitt emellan nollställena, dvs för x=3.

Y=(12-2x)(x)=12x-2x², vilket ger y'(x)=12-4x, och y'=0 ger 4x=12, alltså x=3 ger maximal area.

y(3)=36-18= 18. 

Värdemängden blir då 0<y<18 (egentligen mindre än eller lika med 18.

Definitionsmängden blir 0<x<12.

Ser det okej ut nu? 

Hur ser det ut om x = 7?

Aha, 2x<12, alltså x<6. Vilket ger definitionsmängden:   0<x<6.

Nu blev det väl ändå rätt?

Javisst!