Formel om en talföljd

Titta på tabellen i uppgift 16 och dra ett stort streck över kolumnerna 2 och 3. De är inte intressanta! De bara rör till det.

Du har nu kvar två kolumner, $n$ och "Summans värde". De värden som står under "Summans värde" är värdet av $n(n+1)/2$ när du "stoppar in" olika $n$ (de värden som står i kolumn 1).

T.ex. har du

$n=1$ ger $1\cdot(1+1)/2=1$

$n=2$ ger $2\cdot(2+1)/2=3$

$n=3$ ger $3\cdot(3+1)/2=6$

Om du nu adderar "Summans värde" för 2 följande rader får du $1+3=4=2^2$ och $3+6=9=3^2$. Det verkar som om denna "summa av två följande rader" är kvadraten på det $n$ som står på den "andra raden" av de två rader du summerar.

Låt oss bevisa detta. Tag en godtycklig rad och säg att det står $a$ i $n$-kolumen. På raden ovanför står det då $a-1$ (eftersom $n$-värdet för raderna är stigande, 1, 2, 3, ..., $a-1$, $a$ osv.)

På raden med $n=a-1$ är värdet under "Summans värde" $(a-1)(a-1+1)/2=(a-1)a/2$

På nästa rad, med $n=a$ är värdet under "Summans värde"  $a(a+1)/2$

(Sätt in $a-1$ och $a$ i formeln som är given i texten.)

Summera dessa två;

$\frac{(a-1)a}{2}+\frac{a(a+1)}{2}=\frac{(a-1)a+a(a+1)}{2}=\frac{a^2-a+a^2+a}{2}=\frac{2a^2}{2}=a^2$

precis som vi "anade", att summan av två rader är kvadraten av "n"-värdet på den andra raden.