Formel för Kombination och Permutation (Matematik/Matte 5/Kombinatorik)

Läs om permutationer och kombinationer på matteboken.se

Om det är något mer specifikt du undrar om, så behöver du förklara vad.

Vi tänker oss att vi har n olika alternativ. Vi ska välja ut r stycken av dessa till att sitta i en styrelse (med olika roller). Den första kan vi välja på $n$ sätt, nästa $(n-1)$ , sedan $(n-2)$ ‚ hela vägen ned till $(n-r+1)$ . Multiplikationsprincipen ger då att vi kan välja dessa personer på

$\underset{r faktorer}{\underset{⏟}{n (n - 1) (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - r + 1)}}$ olika sätt.

Vi kan skriva om detta uttryck på följande sätt:

$n (n - 1) (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - r + 1) = n (n - 1) (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - r + 1) \cdot 1 = n (n - 1) (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - r + 1) \cdot \frac{(n - r) (n - r - 1) \cdot . . . \cdot 2 \cdot 1}{(n - r) (n - r - 1) \cdot . . . \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n (n - 1) (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - r + 1) (n - r) (n - r - 1) \cdot . . . \cdot 2 \cdot 1}{(n - r) (n - r - 1) \cdot . . . \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n!}{(n - r) (n - r - 1) \cdot . . . \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n!}{(n - r)!}$

Där har vi formeln för permutationer. :)

Om vi nu tänker att alla i styrelsen har samma roller, kan vi tänka oss att alla permutationer av samma styrelse är identiska. Det kan hjälpa att tänka på detta som placering av personer på olika stolar. Den första personen bland de r personerna kan välja mellan r olika stolar. Nästa person mellan $(r-1)$ stolar, osv. hela vägen ned till den sista personen, som endast kan välja på en stol. Totalt $r!$ olika permutationer.

Om vi dividerar bort dessa permutationer av varje styrelse, får vi antalet kombinationer av personer. Vi har formeln $\frac{n!}{r! (n - r)!}$ . :)

Det jag inte förstår i matteboken för permutation är varför formeln blir i slutet (n-k+1) och hur de förenklar den till formeln n!/(n-k)!

"kan vi tänka oss att alla permutationer av samma styrelse är identiska." förstod inte detta och varför vi gjorde detta "Om vi dividerar bort dessa permutationer av varje styrelse"

Fotbollskillen12 skrev:
"kan vi tänka oss att alla permutationer av samma styrelse är identiska." förstod inte detta och varför vi gjorde detta "Om vi dividerar bort dessa permutationer av varje styrelse"

Om vi inte bryr oss om vem som är ordförande, vem som är sekreterare, vem som är kassör och så vidare, utan bara bryr oss om vilka personer som är i styrelsen, så har vi räknat varje kombination n! gånger. Därför delar vi med n!.

Vilka kombinationer är det som vi har räknat n! med är det de olika permutationer av en och samma styrelse?

Jag ska visa 3 olika fall.

1. du ska köpa 3 st vaser i en butik som finns i 10 olika färger. Butiken jättemånga av de vaserna i alla färger så de får aldrig slut på de. Den första vasen kan du välja på 10 olika sätt, den andra också på 10 olika sätt och detsamma för den tredje.

Du kan välja vaserna på 10 * 10 * 10 = 10^3 olika sätt.

2. Men säg nu att du ska köpa 3 vaser igen men butiken har den här gången bara en färg för varje vas, dvs de har bara 10 vaser att sälja. Första gången kan du välja 10 vaser, andra gången 9 och tredje gången 8. Du kan alltså välja på 10 * 9 * 8 olika sätt. Av dessa 10 vaser som finns har du inte köpt 7 st av de som i sig kan köpas på 7! Sätt. Du skulle därför lika gärna kunna räkna på det som att du kan köpa dina 3 vaser på 10!/7! olika sätt, vilket är detsamma som P(10,3) = 10!/(10-3)!. Detta är vad permutationer är, dvs på hur många sätt kan du välja k element (3 vaser) ur N (en mängd på 10 vaser).

3. Låt nu säga att du inte bryr dig om vilken ordning du köper vaserna i, dvs om du först väljer en blå, sedan en grön och till sist en rosa vas är det samma sak som att du först väljer en grön, sedan en blå och rosa vas. Då vill du veta hur många olika kombinationer du kan göra. Dina 3 vaser kan själva kombineras på 3! Olika sätt (den första kan välja 3 positioner, den andra 2 och sen sista 1). Så då delar du svaret du fick i det föregående faller med 3!, alltså: 10!/(3!*(10-3)!). Och då har du formeln för kombinationer som är N!/(k!*(N-k)!

Fast varför delar jag med antalet sätt som vaserna kan kombineras på samma sätt som jag delar på antalet som arbetare i en och samma styrelse arbetar i?

Anledningen till att du skulle dela i r! när det gällde styrelsemedlemmarna var just för att du ville få fram antal sätt de kunde kombineras på, dvs utan att ta hänsyn till ordningen, t.ex (x,y,z) = (z,y,x). Detta är precis vad jag gjorde med vaserna i fall 3, där räknade vi också på kombinationerna där t.ex (blå, grön, rosa) = (grön, blå, rosa). Du delar alltså alltid på antal sätt de ingående elementen kan kombineras på (när du räknar kombinationer), vilket ingår i den allmänna formeln för kombinationer. Jag försökte alltså förklara samma sak