Formel för inversen av 3x3 matris (felaktig formel?)

Låt $A = (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix})$ vara en 3x3-matris.

Då kan inversen av A beräknas enligt följande formel:

$A^{- 1} = \frac{1}{d e t (A)} (\begin{matrix} d e t (\begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix}) & - d e t (\begin{matrix} d & f \\ g & i \end{matrix}) & d e t (\begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix}) \\ - d e t (\begin{matrix} b & c \\ h & i \end{matrix}) & d e t (\begin{matrix} a & c \\ g & i \end{matrix}) & - d e t (\begin{matrix} a & b \\ g & h \end{matrix}) \\ d e t (\begin{matrix} b & c \\ e & f \end{matrix}) & - d e t (\begin{matrix} a & c \\ d & f \end{matrix}) & d e t (\begin{matrix} a & b \\ d & e \end{matrix}) \end{matrix})$

där $d e t (A) = a \cdot d e t (\begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix}) - b \cdot d e t (\begin{matrix} d & f \\ g & i \end{matrix}) + c \cdot d e t (\begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix})$

Denna formell verkar ju väldigt rörig när man först ser den men med minnes-strategier så kommer jag ganska enkelt ihåg den. Enligt Khan Academy och deras "linjär algebra" serie så ska denna formel funka.

Men, när jag tillämpar formeln på $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})$

så får jag ut fel svar, $A^{- 1} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix})$

Jag vet att detta måste vara fel svar för att matrismultiplikationen mellan dessa ger inte ut enhetsmatrisen.

Jag har trippelkollat alla mina beräkningar noggrant, så jag tänker att jag kanske har fått fel formel helt enkelt?

Jag är helt säker på determinant-formeln för en 3x3, men gäller inte resten?

Formeln som du anger ger (A^-1)^T inte A^-1. Om du transponerar din matris så skall du se att du får enhetsmatrisen när du multiplicerar med A.

Som Patenteramera påpekar har du vänt lite på det

Tänk på att $A^{jh}$ är kofaktor till $a_{hj}$ , inte $a_{jh}$

Men inversen är mycket riktigt

$b_{jh}=a^{-1}A^{jh}$

Det gäller ju att

$\displaystyle a=a_{k1}A_{1k}+a_{k2}A_{2k}+\dots+a_{kn}A_{nk}=\sum_{j=1}^n a_{kj}A_{jk}$

PATENTERAMERA skrev:
Formeln som du anger ger (A^-1)^T inte A^-1. Om du transponerar din matris så skall du se att du får enhetsmatrisen när du multiplicerar med A.

Okej så transponatet av inversen som jag beräknade är då den riktiga inversen till A?

Eftersom att ${(A^{T})}^{T} = A$

Då testar jag att transponera resultatet och se vad jag får ut

Ja, och kolla att du får enhetsmatrisen när du sedan multiplicerar med A.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, och kolla att du får enhetsmatrisen när du sedan multiplicerar med A.

Yup nu verkar det funka, får ut enhetsmatrisen och allting ser bra ut.

Tack så mycket för rättningen av formeln!

Svara

Visa senaste svar