Förlängning/Förkortning division

Jag vet inte om detta är vad du är ute efter, men i den här beräkningen gör jag först en förlängning (för att få samma nämnare) och sedan en förkortning:

$\frac{3}{10}+\frac{1}{2}=\frac{3}{10}+\frac{1\cdot {\color{blue} 5}}{2\cdot {\color{blue} 5}}=\frac{3}{10}+\frac{5}{10}=\frac{3+5}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4\cdot {\color{red}2}}{5\cdot {\color{red}2}}=\frac{4}{5}\,.$

Visst kan man det. Här förlänger jag först med 5 och förkortar sedan med 2:

$\frac{4}{6}=\frac{20}{30}=\frac{10}{15}$

Man kan alltid förlänga. Oändligt många gånger faktiskt! Till exempel:

$\frac{4}{6}=\frac{20}{30}=\frac{140}{210}=\frac{1540}{2310}$

Jag förlängde först med 5, sedan med 7 och sist med 11. Man kan fortsätta hur länge som helst.

Däremot kan man inte alltid förkorta. Det är därför man slutar när det inte finns några gemensamma faktorer i nämnare och täljare:

$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Sedan går det inte att förkorta mer.