Förkorta bråket så långt som möjligt (Matematik/Universitet)

Lisa Mårtensson skrev:
$\frac{\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5 x} + \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{5}}$ ska förkortas så långt som möjligt.
Var ska man börja här?
Förlänga med nämnarens konjugat kanske?

Verkar som en bra idé.

$\frac{(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5 x} + \sqrt[3]{x^{2}}) (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{5})}{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{5}) (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{5})}$

Jag kan skriva om nämnaren till $(\sqrt[3]{x})^{2} - (\sqrt[3]{5})^{2}$ enligt konjugatregeln.

Bör jag multiplicera ihop täljaren och ska jag i så fall bara multiplicera ihop vad som står under rottecknen och använda distributiva lagen?

I så fall blir det i täljaren: $\sqrt[3]{50 x} + \sqrt[3]{10 x} + \sqrt[3]{x^{3}} + \sqrt[3]{125}$ ,

men jag skulle vilja hitta något att bryta ut eller se om jag kan förkorta genom att ha samma faktor i täljare och nämnare som kan strykas. Jag hittar inget sådant.

Dessutom blir jag lite blockerad av att det är tredje rotenur. Men jag vet ju att $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$ . Kan det vara användbart på något sätt?

Det här var bedrövligt besvärliga siffror! jag tror att jag skulle göra substitutionerna $a = \sqrt[3]{5}$ och $b = \sqrt[3]{x}$ . Då blir uttrycket $\frac{a^2+ab+b^2}{b-a}$ . Jag skulle vilja ha en tvåa framför mitt-termen i täljaren, men så bra är det ju inte...

Smaragdalena skrev:
Det här var bedrövligt besvärliga siffror! jag tror att jag skulle göra substitutionerna $a = \sqrt[3]{5}$ och $b = \sqrt[3]{x}$ . Då blir uttrycket $\frac{a^2+ab+b^2}{b-a}$ . Jag skulle vilja ha en tvåa framför mitt-termen i täljaren, men så bra är det ju inte...

... och ett minustecken, så att täljarens mittersta term blev -2ab.

Man bör kunna göra det enklare för sig om man låter a = tredjeroten ur x, och b = tredjeroten ur 5. Då blir uttrycket (a^2+ab+b^2)/(a-b). Men jag ser inte hur man kan förkorta det. Man kan utföra divisionen och få en kvot och en rest.

Edit: nu hann Smaragdalena före.

Med Smaragdalenas beteckningar kan man ju addera och subtrahera täljaren med $2ab$ vilket låter en göra förenklingarna:

$\dfrac{a^2+ab+b^2}{b-a}=\dfrac{a^2+ab+b^2-2ab+2ab}{b-a}=\dfrac{b^2-2ab+a^2+3ab}{b-a}=\dfrac{(b-a)^2+3ab}{b-a}=$

$=\dfrac{(b-a)^2}{b-a}+\dfrac{3ab}{b-a}=b-a+\dfrac{3ab}{b-a}$

vilket förvisso inte är så jättesnyggt, men det tror jag är det bästa man kan göra.

Men inget av detta är ju egentligen förkortningar av bråket? Är det helt säkert rätt avskrivet?

Ja, det är rätt avskrivet men jag har missat att delge er hela uppgiften. Så här står det:

Skriv om följande uttryck så att nämnaren inte innehåller något rotuttryck och bråket har förkortats så långt som möjligt.

$\frac{\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5 x} + \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{5}} = \frac{A}{B} A = B =$

Vad kan man göra för att få bort rotuttrycken ur nämnaren?

Jag har fått $\sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[3]{5} + \frac{3 \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{5}}$ genom polynomdivision. Ändå vet jag inte om man kan förkorta ännu mer.

Vi har $\frac{n å n t i n g}{b - a}$ och vill få nämnaren att innehålla bara trepotenser av a och b, för då har vi inga rottecken längre med de ursprungliga värdena. Då kan man tänka på ett tredjegradsuttryck som har b-a som faktor, och kommer på att b³-a³ är ett sådant. b³-a³ = (b-a)(a²+ab+b²), så om vi förlänger bråket med (a²+ab+b²) så får vi $\frac{n å n t i n g \times (a^{2} + a b + b^{2})}{(b - a) (a^{2} + a b + b^{2})} = \frac{n å n t i n g \times (a^{2} + a b + b^{2})}{b^{3} - a^{3}}$

Lätt som en plätt. Nej, jag kom inte på det själv förrän idag.

Tack Laguna!!!

Smart :-)

Tack Laguna, smart :-)

Ja, om man får ha exponenten 3 efter tredje rotenur-uttrycken, så får man bort rottecknen i nämnaren!

$\frac{(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5 x} + \sqrt[3]{x^{2}}) ((\sqrt[3]{5})^{2} + (\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{x}) + (\sqrt[3]{x})^{2})}{(\sqrt[3]{x})^{3} - (\sqrt[3]{5})^{3}} = \frac{(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5 x} + \sqrt[3]{x^{2}})^{2}}{x - 5}$

Tycker ni jag har gjort rätt så här långt och visst kan man väl förkorta mer än så här?

$\frac{(25^{\frac{1}{3}} + (5 x)^{\frac{1}{3}} + (x^{2})^{\frac{1}{3}})^{2}}{x - 5}$ Kan detta vara en väg att gå vidare om man vill förkorta och bli av med rottecken även i täljaren?

Jag vet att där jag ska fylla i svaret, där kan man inte skriva tredje rotenur, utan man får uttrycka det som upphöjt med 1/3.

Ursäkta att parenteserna ser lite konstiga ut :-)

$\frac{(a^{2} + a b + b^{2})^{2}}{b^{3} - a^{3}}$

Jag ersätter a med $\sqrt[3]{5}$ och b med $\sqrt[3]{x} .$

Klart!

Jag skulle inte börja multiplicera ihop några parenteser i täljaren, det var fel spår.

Konjugatregeln ger

$x-5 = (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{5})\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{5x}+\sqrt[3]{25})$

vilket ska vara samma sak som

$x-5=(x^{1/3}-5^{1/3})\cdot((x^2)^{1/3}+(5x)^{1/3}+25^{1/3})$

vilket resulterar i att uttrycket kan förenklas till ...

Det verkar som att man inte längre kan skriva kubikrötter som \sqrt[3]{x} längre. Jag skrev ovanstående text som

x-5 = (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{5})\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{5x}+\sqrt[3]{25})

och redigeringsprogrammet tycket att det skulle visas så som ni ser. Bra jobbat!