Förklaring variabelbyte

Hej, jag skulle behöva hjälp med att förklara följande

$\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d x d y = \iint_{E} (1 \div 4 r^{2} \cos^{2} φ + r^{2} \sin^{2} φ) 1 \div 2 r d r d φ$

Då:

x= $1 \div 2 r \cos φ$

y= rsin $φ$

Jag antar att 2/4r^2 är primitiven till x men jag blir osäker på r^2sin^2 $φ$ och 1/2rdrd $φ$

Det där ser inte riktigt rätt ut (om än det är svårt att förstå vad divisionstecknen ska gälla för).

x är r*cos(fi) och y är r*sin(fi) med vanliga koordinatbyten.

Man får också att dx*dy = r*dr*dfi med vanliga koordinatbyten.

Gäller det någon integral över en ellips, kanske? Det skulle förklara formuleringen x= r*cos(fi) / 2 och ger då att x^2 blir...

samt att areaelementet dx*dy bara blir hälften så stort som r*dr*dfi.

ja det står att integrationsområdet ligger mellan ellipserna $4 x^{2} + y^{2} = 1 o c h 4 x^{2} + y^{2} = 4$

Men jag förstår fortfarande inte hur dom får fram $\iint_{E} (1 / 4 r^{2} \cos^{2} φ + r^{2} \sin^{2} φ) 1 / 2 r d r d φ$

Kan du skriva av uppgiften ord för ord? Inte din tolkning, alltså, utan precis som det står. Då är det lättare för oss att förstå.

$\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d x d y$ D={(x,y); $1 \leq 4 x^{2} + y^{2} \leq 4$ }

Efter omskrivning av $1 \leq 4 x^{2} + y^{2} \leq 4$ fick jag $1^{2} \leq (2 x)^{2} + y^{2} \leq 2^{2}$

2x=rcos $φ$ ger x=1/2rcos $φ$

y= rsin $φ$

Efter att jag löst funktionaldeterminanten får jag $1 / 2 r (\cos^{2} φ + \sin^{2} φ) = 1 / 2 r$

Så långt är jag med.

Nästa steg är att räkna ut E som blir { $(r, φ); 1 \leq r \leq 2, 0 \leq φ \leq 2 π$ }

Där är jag lite fundersam hur dom får fram gränserna för r och fi

Sen efter det så kommer man till steget $\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d x d y = \iint_{E} (1 / 4 r^{2} \cos^{2} φ + r^{2} \sin^{2} φ) 1 / 2 r d r d φ$

Så det är egentligen både gränserna jag inte får fram och steget efter.

Har du ritat upp hur området ser ut? Om du vet hur de polära koordinaterna fungerar, borde det inte vara svårt att se vilka gränserna är för r och $φ$ . Du får justera skalningen på x-axeln jämfört med y-axeln för att det skall funka.

Jag satte $4 x^{2} + y^{2} = 4$ och $4 x^{2} + y^{2} = 1$ och fick $x^{2} + y^{2} / 2^{2} = 1^{2}$ och $x^{2} / (1 \div 2)^{2} + y^{2} = 1^{2}$

så då fick jag yttre gräns som $x = \div 2 y = \div 2$ och inre gräns $x = \div 1 / 2 o c h Y = \div 1$

Jag förstår ingenting av ditt inlägg. Vet du hur området ser ut? Vet du hur du skall göra för att det skall se ut som en cirkelring istället? När det ser ut som en cirkelring borde det vara lätt att se gränserna för radien och vinkeln.

Det ska vara en ellips.

Jag har det ursprungliga D= $(x, y), 1 \leq 4 x^{2} + y^{2} \leq 4$

Jag försökte få fram gränserna genom att sätta

$4 x^{2} + y^{2} = 4$

$4 x^{2} + y^{2} = 1$

Det stämmer att området är en ellips, eller snarare området mellan två ellipser. Har du ritat upp det? Är det en stående eller liggande ellips? Det enklaste är att kolla vad x har för värde när y är 0, och tvärtom.

Det är stående ellips ser jag.

Hur behöver du skala om axlarna för att den skall se ut som en cirkel?

för att den ska se ut som en cirkel måste den tryckas ihop i y led med faktor 2 som jag ser det.

Ja. När du har gjort det - kan du då se vilka värden på r och φ som behövs för att beskriva det området? Och kan du se vilket värde r får? Det blir lite annorlunda jämfört med om området hade varit en cirkel från början.

Jag tror att allt ramlar på plats om du först räknar på ett område mellan två CIRKLAR med radier 1 respektive 2.

Kommer du fram till ett liknande uttryck då? Liknande men enklare!

Svara

Visa senaste svar