Förklaring modulär ekvation

Hej:

Jag behöver gärna hjälp med modulär ekvationen. Alltså detta ex. nedan finns i boken men jag förstår inte riktigt hur ekvationen jämföras i slutningen och lösningen dras. Samt jag inte säkert varför löser vi ut ur 3 och 6, där när jag löser en annan ex. fastnar jag och vet inte hur kommer klara den (ex. i foton)

Exempel: Modulär ekvation
 
Lös ekvationen 15x ≡ 3 (mod 9).

LÖSNING :

Vi skriver om ekvationen till en diofantisk ekvation, 15x = 3 + 9y ⇔15x - 9y = 3. Vi använder sedan Euklides algoritm för att bestämma SGD(15, 9).

15 = 1 · 9 + 6 Det större talet divideras med det mindre.
9 = 1 · 6 + 3 Dividera det mindre talet med resten och upprepa tills resten blir noll.
6 = 2 · 3
SGD(15, 9) = 3

Vi hade här lätt kunnat se att SGD(15, 9) = 3 men vi ska nu använda Euklides algoritm baklänges för att uttrycka 3 som en "kombination" av 15 och 9.

Vi löser ut 3 ur den näst sista likheten: 3 = 9 - 6
Sedan löser vi ut 6 ur den första likheten: 6 = 15 - 9

Detta sätter vi in i uttrycket för 3 och får då: 3 = 9 - 6 = 9 - (15 - 9) = (-1) · 15 + 2 · 9

Om vi nu jämför med den ursprungliga ekvationen ser vi att x = -1 och y = -2
Detta är en lösning av flera möjliga. Det kallas då för en partikulärlösning.

SVAR:

x = -1 och y = -2 är en partikulärlösning.