Förklaring av lösning

Mängden koffein y är en funktion av tiden x, dvs y(x).

Eftersom derivatan beskriver ändringshatigheten så är ändringshastigheten vid tidpunkten x lika med y'(x).

Du ska alltså derivera y(x) och sedan ta reda på derivatans värde vid tidpunkten x = 2 h.

Hur man deriverar en exponentialfunktion står i detta avsnitt av matteboken.se.

åh, då vet jag! tack så mycket för svaret! 

Okej så jag förstår upp till det 3e steget i gyazo bilden. Jag kollade på videon i kapitlet och följde med där men jag förstår inte vad f'(x) = 100 * ln(0,87) * e^{x ln 0,87} betyder. Jag vet att e är ca 2,72 men förstår inte hur den naturliga logaritmen fungerar. Exemplet 3 = e^{ln 3} visar sambandet men jag hänger ändå inte med- Sen förstår jag inte hur -0,139 kom med i bilden ! :( 

f(x) = a^x

sättet man deriverar sådana funktioner gör man med hjälp av naturliga logaritmen som är VÄLDIG effektiv i och med att det har egenskapen att vara sin egen derivata.

a^x kan skrivas om med basen e, e^(x ln a)

precis som man skriver 3 = 10^lg 3 t.ex.

att derivera f(x) = a^x = e^x ln a gör man genom deriveringaregeln e^x ln a ➡️ ln a X e^x ln a

Förtydligande:

Eftersom $a=e^{ln(a)}$ så är $a^x=(e^{ln(a)})^x$

Efrersom $(b^c)^d=b^{c\cdot d}$ så är $a^x=(e^{ln(a)})^x=e^{ln(a)\cdot x}$

Eftersom derivatan av $e^{kx}$ är lika med $k\cdot e^{kx}$ så är derivatan av $e^{ln(a)\cdot x}$ lika med

$ln(a)\cdot e^{ln(a)\cdot x}=ln(a)\cdot (e^{ln(a)})^x=ln(a)\cdot a^x$.

Talet $-0.139$ kommer in genom att $ln(0.87)\approx -0.139$

okej, dessa formler är riktigt svåra att förstå haha.. Hur blir e^x(0,139) = 2,718^-0,278?

Violett skrev:

okej, dessa formler är riktigt svåra att förstå haha.. Hur blir e^x(0,139) = 2,718^-0,278?

Talet e är ungefär lika med 2,718.

Om du tittar i början av raden ser du att det de beräknar är f'(2), dvs derivatans värde då x = 2.

Om x = 2 så är exponenten x*(-0,139) = 2*(-0,139) = -0,278.