Förklara hur båda kan ha rätt

Moas graf ser bra ut och är ett bra exempel på varför Moa kan ha rätt.

Men Gustafs graf stämmer inte. Grafen till en tredjegradsfunktion har alltid antingen en terrasspunkt eller en min- och en maxpunkt. Den graf du har ritat har både terrasspunkt, minpunkt och maxpunkt.

Men du är rätt ute när du ritar Gustafs graf med en negativ koefficient framför $x^3$-termen, dvs att den börjar långt upp till vänster. Men sen, till höger om den högraste extrempunkten, ska den fortsätta långt ner till höger och inte gå uppåt igen.

Det betyder att den vänstra extrempunkten ska vara en minpunkt och den högra en maxpunkt, dvs som Moas graf fast tvärtom.

Skulle någon sån graf funka . Minpunkt då x=2. Maxpunkt då x=6 . Grafen skär y axeln då x=0 , y värdet då x=0 är > än y värdet då x=6

Bra, det är precis så den kan se ut.

Dvs ngt sånt 

Nej, det ser inte rätt ut.

Dels så är ju y-värdet vid x = 0 mindre än y-värdet vid x = 6 istället för tvärtom, dels så ser formen inte rätt ut. Hur många maxpunkter, minpunkter och terrasspunkter har den grafen egentligen?

Kanske så här istället 

Du svarar inte på mina frågor.

Hur många minpunkter och maxpunkter har ditt senaste förslag på graf?

I global maximipunkt då x=0 , en lokal maxpunkt då x=6 och en minpunkt då x=2

OK, och det du har ritat ska alltså vara grafen till en tredjegradsfunktion?

Ser du då att det är något som inte stämmer?

Yngve skrev:

OK, och det du har ritat ska alltså vara grafen till en tredjegradsfunktion?

Ser du då att det är något som inte stämmer?

Nej jag ser inte

Yngve skrev:

...

Grafen till en tredjegradsfunktion har alltid antingen en terrasspunkt eller en min- och en maxpunkt.

...

Den graf du har ritat har alltså för många stationära punkter. Det kan inte vara grafen till en tredjegradsfunktion.

Men hur ska grafen se ut isf?

Till exempel så här:

Okej hur jag ska jag svara på frågan? Ska jag motivera att f(0) ger ett större värde än maximipunkten då x=6? Dvs att f(0)r större än f(6)

Nej, du ska svara på hur det kan komma sig att både Moa och Gustaf kan ha rätt.

Genom att ge exempel på hur Moas och Gustafs grafer kan se ut så kan du visa att Moas funktion i intervallet $0\leq x\leq3$ har sitt största värde vid $x=2$ och att Gustafs funktion i samma intervall har sitt största värde vid $x=0$.

Funktionsvärdet vid $x=6$ är ointressant eftersom det $x$-värdet inte ligger i det aktuella intervallet.

Okej. 

Moas graf har en maxpunkt vid x=2 och en minpunkt vid x=6.  Det här gör att f(2) ger största värdet till funktionen inom intervallet som är tillåtet. 

Gustavs graf kan ha x=2 som en minpunkt, och x=6 som en lokal maximipunkt. Däremot kan grafen då x=0 korsa y axeln vid ett större värde på y än f(6). Utan att det behöver vara någon extrempunkt 

Bra, men återigen, funktionsvärdet f(6) är inte relevant i sammanhanget.

Det viktiga för Gustaf är att f(0) är det det största värdet i intervallet $0\leq x\leq3$.

Bra extrauppgift 1: Vad måste gälla för koefficienten framför $x^3$-termen för Moas respektive Gustafs funktioner för att de ska uppfylla villkoren?

=============

I själva verket gäller det både för Moa och Gustaf att f(0) = f(6), dvs Moas graf har samma höjd vid x = 0 som vid x = 6.

Detsamma gäller för Gustaf, även hans graf har samma höjd vid x = 0 som vid x = 6.

Bra extrauppgift 2: Fundera på hur du skulle kunna visa att så är fallet.

Extrauppgift 1 : 

Moas graf måste vara + för den stiger i början. 
Och gustavs negativ (-) 

Extra uppgift 2 :

Det kan man göra med hjälp av extrempunkterna och hur de placeras i koordinatsystemet 

Katarina149 skrev:

Extrauppgift 1 : 

Moas graf måste vara + för den stiger i början. 
Och gustavs negativ (-) 

Ja det stämmer. Om du menar att Moas koefficient måste vara positiv och att Gustafs koefficient måste vara negativ.

Extra uppgift 2 :

Det kan man göra med hjälp av extrempunkterna och hur de placeras i koordinatsystemet 

Jag tänkte mer på att du skulle använda ett generellt uttryck för f(x), baserat på vad du vet om f'(x).

Gör gärna ett försök.

Kanske hjälp av en teckentabell ? Moas graf: 

x          -1  |2  | 3
f’(x)      +   | 0 | -

f(x)        /    | -  | \

Om du menar extrauppgift 2 så tänkte jag att du vet att $f'(x)$ är en andragradsfunktion vars nollställen är $x=2$ och $x=6$.

Det ger dig att $f'(x)=k(x-2)(x-6)=k(x^2-8x+12)$, där $k$ är en konstant.

Det betyder att $f(x)=k(\frac{x^3}{3}-\frac{8x^2}{2}+12x+C)=k(\frac{x^3}{3}-4x^2+12x+C)$, där $C$ är en integrationskonstant.

Jämför nu $f(6)$ med $f(0)$.

Är det någon skillnad?

Yngve skrev:

Om du menar extrauppgift 2 så tänkte jag att du vet att $f'(x)$ är en andragradsfunktion vars nollställen är $x=2$ och $x=6$.

Det ger dig att $f'(x)=k(x-2)(x-6)=k(x^2-8x+12)$, där $k$ är en konstant.

Det betyder att $f(x)=k(\frac{x^3}{3}-\frac{8x^2}{2}+12x+C)=k(\frac{x^3}{3}-4x^2+12x+C)$, där $C$ är en integrationskonstant.

Jämför nu $f(6)$ med $f(0)$.

Är det någon skillnad?

f(6)=KC^2

f(0)=KC^2? Ser ingen skillnad

Du menar väl f(6) = KC och inte KC^2?

Men ja, det stämmer att det inte är någon skillnad. Alltså är f(6) = f(0), vilket innebär att det för Gustafs graf gäller att den har samma höjd vid x = 0 och vid x = 6.

Det stämmer alltså inte att f(0) är större än f(6).

====

Samma sak gäller för Moa.

Yngve skrev:

Du menar väl f(6) = KC och inte KC^2?

Men ja, det stämmer att det inte är någon skillnad. Alltså är f(6) = f(0), vilket innebär att det för Gustafs graf gäller att den har samma höjd vid x = 0 och vid x = 6.

Det stämmer alltså inte att f(0) är större än f(6).

====

Samma sak gäller för Moa.

Vänt nu förstår jag inte hur Gustavs graf har samma höjd vid x=0 som vid x=6

hur menar du när du skriver att samma sak gäller för Moa?

Katarina149 skrev:

Vänt nu förstår jag inte hur Gustavs graf har samma höjd vid x=0 som vid x=6

Du har väl nyligen räknat fram att f(0) = KC och att f(6) = KC?

hur menar du när du skriver att samma sak gäller för Moa?

Jag menar att även för Moas funktion så gäller att f(0) = f(6).

Varför ska funktionen f vara just KC^2?

Jag trodde att du hade beräknat både f(0) och f(6), men då missförstod jag dig.

Vi backar tillbaka.

Är du med på att ett generellt uttryck för $f(x)$ är

$f(x)=k(\frac{x^3}{3}-4x^2+12x+C)$?

Om ja, beräkna $f(0)$ och $f(6)$.

Om nej, läs det här svaret igen och fråga om det är något som är oklart.

f(0)=KC 

f(6)=KC 

Ja det stämmer (fast det skulle vara kC och inte KC).

Är du med på att det betyder att f(0) = f(6)?