Förklara en formel endast för att jag är sådär lite vär nördig och vill VETA.

Det här kommer inte alls att bli det svaret du vill ha, men för att kunna förklara varför formeln $e^{i \pi}=-1$ är vacker, rolig, intressant och viktig behöver man faktiskt stora delar av både Ma3 och Ma4, och det är bättre att du läser igenom det som står om trigonometri, enhetscirkeln, radianer och komplexa tal innan vi kan förklara det du vill ha reda på.

En av orsakerna till varför formeln $e^{i \pi}+1=0$ anses vara så speciell/vacker är att den förenar så många saker i matematiken. Vi har addition med dess neutrala element 0 och multiplikation med dess neutrala element 1. Vi har också basen för den naturliga logaritmen,  $e$, samt $\pi$ och den imaginära enheten $i$ alla förenade i en formel.

Att verkligen förstå varför den är som den är är nog svårt med bara gymnasiematematik utan kan nog kräva lite komplex analys på universitetsnivå.  

Hej Natascha!

Det är säkert något du har redan sett massor gånger i olika mattevideor, men jag försöker skriva hur det funkar, så du kan passa på att ''euhlerisera'' dina egna vinklar!

Formeln $e^{i\mathrm{\pi }}$ används väldigt smidigt för att ge koordinaterna av en vinkeln med hjälp av enhet cirkeln. Det brukar också stå en längd $r$ framför $e$, förutom när längden=1 (som är fallet i detta formeln). Dvs att varje gång att formeln börjar med $e$ och inte nåt tal, ligger vi på enhetscirkeln.

Varför används $e$ ska förklaras med derivata (matte3). $i$ refererar till den komplexa talplanet, en koordinat system där $x$-axeln ger de reella tal och $y-$-axeln ger imaginära tal. De bildar en vinkel. Komplexa tal är den absolut roligast del i matte 4. Det börjas av tradition tror jag ganska sent i utbildning, och det är synd, för det är verkligen super roligt, dessutom relativ lätt.

Du ser på enhetscirkelbilden att $\mathrm{\pi }$ har koordinater $(x,y)=-1,0$, därför kan det skrivas som $e^{i\mathrm{\pi }}=-1$. Vinkeln $\mathrm{\pi }$, eller 180° har koordinat -1 i en enhetscirkeln. $e^{i0}=1$, men det är såklart inte lika snygg :)!

Så som JohanB skriver, formeln förenar algebra, komplexa tal, analys, logaritm geometri, trigonometri i något kompakt och smidigt.

Jag tycker att den elegantaste förklaringen till Eulers formel, förstår man genom summeringen av Taylor-serierna för isin(z) och cos(z) till $e^{iz}$. Den beskrivs här:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel

Det borde vara "riktiga" förklaringen. Svagheten är att det inte är helt klart varför en funktion kan/ska identifieras med sin potensserie (eller vad konvergens av komplexa tal betyder). Det är här det behövs komplex analys för att se att enda rimliga sättet att få $e^z$ att vara en analytisk funktion är genom Eulers.

Kul fråga! Som redan har sagts i tråden är detta ett rätt så djupt resultat som det tar tid att helt få grepp om, och så här i början av gymnasiematematiken är det nog svårt att förstå så mycket mer än att det är ett coolt/snyggt/förvånadsvärt enkelt samband mellan tre mer eller mindre mystiska symboler: $\pi$, $i$ och $e$. Men nyfikenhet är en bra början!

Fortsätter du sedan läsa matematik -- kurs 3, 4 och kanske 5 på gymnasienivå, och sedan vidare med envariabelanalys och grundläggande komplex analys de första ~3 terminerna på högskolenivå -- kommer formeln säkert successivt börja klarna. Dels kommer du få en djupare förståelse för vad $\pi$ och $i$ är, men framför allt kommer du lära dig vad talet $e$ är för något, och vad vi egentligen menar när vi upphöjer $e$ till saker som inte är heltal. På vägen kommer du även lära dig andra sätt att mäta vinklar än i grader, nya sätt att tolka sinus och cosinus, hur man kan beräkna "summor" med oändligt många termer, och inte minst det spektakulära faktumet att många funktioner som inte alls ser ut som polynomfunktioner ändå är så pass "polynomlika" att de kan approximeras godtyckligt väl med hjälp av just polynom! 

Så en kul sak med Eulers identitet är att man regelbundet under sin matematikutbildning kan kolla tillbaka på den och märka att man har utvecklats matematiskt. Och det fortsätter för övrigt även efter de där första analyskurserna man läser på universitetsnivå. Lite mer avancerade kurser som gruppteori och differentialgeometri ger en till exempel ännu fler perspektiv på hur spännande talet $e$ och den tillhörande exponentialfunktionen är! Samma sak gäller även andra klassiska saker man lär sig om i början på gymnasiet, som talet $\pi$, vinkelsumman i en triangel, nollproduktsregeln, oändlighetsbegreppet, primtalfaktorisering, symmetrier, kvadrerings- och kuberingsregeln, produktregeln med mera -- det tar tid att riktigt förstå djupet i dem, och man får ofta anledning till att återkomma till dem från nya intressanta vinklar när man lär sig nya matematiska koncpet.

Så ja, min poäng är väl någonstans att du helt enkelt borde fortsätta plugga matematik även efter att du är klar med Matte 2c om du är nyfiken på sånt här! Men, med det sagt är det så klart inte omöjlgt att redan nu få i alla fall känsla för var Eulers formel kommer ifrån. Jag tror vi är många här som gärna hjälper dig, men det vore bra om du först och främst dels berättade lite mer om vad du redan känner till om talen $\pi$, $i$ och $e$, och dels berättade vilka youtubevideoes du redan har sett och vad du har lärt dig/blivit förvirrad av från dem. Det behöver absolut inte vara så mycket, men att ha något att utgå ifrån gör det mycket lättare att förklara!

Vilket trailer @oggih!

Jag ser fram emot de olika avsnitt om $\pi, e$ och $\i$!