Förklara ekvation med sats

Nu var det länge sedan, men p och q är relativt prima, annars är p/q inte förkortat så långt som möjligt. I vilka koefficienter ska p respektive q vara en faktor i enligt satsen?

I satsen står det bara att p måste vara en faktor i a0 och q måste vara en faktor i an men står inget om kofficienter

Kika igen för vad är a0 och an i ett godtyckligt polynom?

I ditt fall är n=4, så vad blir dina fem termer? Vad blir ditt an? Vad blir ditt a0?

Tillägg: 23 jul 2023 15:51

Jag kom ihåg fel, n=3, inte 4! :)

Alla de här a₀ till a_n är koeffocienter.

Okej blir mitt p=2 och q=4  då och för att räkna med det förkortar jag det så det blir p/q= 2/4= 1/2? eller tänker jag fel då? Jag förstår inte riktigt satsen tror jag...

Prova, stämmer det? :)

Jag lyckades nu räkna ut det tror jag med hjälp av faktorisering men uppgiften är ju att jag ska hitta den med hjälp av satsen och jag förstår inte hur jag ska göra det. Vad blir mina a0 till an och hur ser jag det?

$a_n=4$ och $a_0=2$

Satsen säger att polynomet har en rot $p/q$, vidare vet du att $q$ är en faktor i $a_n$, medan $p$ är en faktor i $a_0$.

Faktorer i $a_n: {1, 2, 4}$

Faktorer i $a_0: {1, 2}$

Förstår du nu?

Nu tror jag jag förstår! Ser lösningen korrekt ut? Är det något jag glömt eller som behöver visas utförligare?

Ja, snyggt! Några kommentarer:

Du behöver inte beräkna $p(-2/4)$ och $p(2/4)$, för det är ju samma sak som $p(1/2)$ och $p(-1/2)$, du verkar dock få olika svar så du måste ha räknat fel. Annars verkar det som att du tänker rätt. Kom också ihåg att du bara ska prova fall $p/q$, och inte $q/p$.

Nu fick jag ju då svaret "Det stämmer inte att q=4,p=2, formulera om." Jag räknar ju som att p=4 och q=2 men det stämmer ju inte med satsen jag ska utgå ifrån där p ska vara en faktor i a₀ och q en faktor i a_n

Jag kopierar från mina inlägg i den nyligen spärrade tråden...

Men  p  skulle ju vara en faktor i  a₀ = 2,  dvs  1 eller 2  ±
och  q  en faktor i   a_n = 4  dvs  1 eller 2 eller  4  ±

Välj   p = -1   och  q = 4  så blir   p/q =-1/4  , förkortat och klart.

Tack! Kan jag då skriva det som

a) Med hjälp av sats 7 i kurslitteraturen kan vi se att p/q är en rot till p(x)=0 där p/q är förkortat så långt som möjligt så måste p vara en faktor i a0 och q en faktor i an.

Faktorerna i an: ±1,±2 eftersom de är jämnt delbara med den konstanta termen 2 

Faktorerna i a0: ±1,±2,±4 eftersom de är jämnt delbara med koefficienten framför i x3 vilket är 4

p/q har alltså dessa möjliga rötter: ±1,±1/2, ±2/1, ±1/4 Vi testar då att lägga in de möjliga rötterna i p(x)

p(1)=35

p(−1)=3

p(−12)= −14

p (12)= 514

p (−21)=14

p (21) =126

p (−14)= 0

p (14) = 498

Således är p (−1/4) den rationella roten till p(x)=0

Nu försvann alla / i parenteserna men det ska vara det. Men måste jag skriva ut vilka p/q jag valt för det visar sig ju när jag provar de i slutet?

[Du kan redigera ditt inlägg inom två timmar, t ex  sätta dit  /  där de saknas.
Klicka på alternativet redigera i nedre högra kanten på inlägget.]

Ditt första stycke ovan skulle jag skriva så här:
Med hjälp av sats 7 kan vi avgöra om ekvationen har någon rationell rot.
Den har i så fall formen  p/q  (förkortat så långt det går), där   p   är en faktor i den konstanta termen  och   q   en faktor i  koefficienten för högstagrads-termen.

Här vet vi att det finns en (och endast en) rationell rot.
Då behöver du väl strängt taget bara visa vilket värde den har
och att det uppfyller villkoren för  p  och  q.

Kolla med din lärare.

--------------------------
Sats 7.       (Hämtat från #1, redigerat)
Låt   f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀  vara ett polynom med heltalskoefficienter.  
Om  p/q  är en rot till  ekvationen  f(x) = 0 , där  p/q  är förkortat så långt som möjligt,
så måste  p  vara en faktor i  a₀  och  q  en faktor i  a_n .