Förenkling utan de moivres lag

Hej.

Kontrollera din uträkning av |z|, den stämmer inte. Absolutbeloppet ska bli 1.

Och när du räknar ut argumentet så skriver du att $\arctan(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})=\arctan(\frac{60^{\circ}}{30^{\circ}})$. Det stämmer inte heller. Istället är uttrycket lika med $\arctan(\sqrt{3})$.

Kan du visa hur du får fram det? Det blir fortfarande fel

$\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$

$\frac{\sqrt{3}}{2}/\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{1}=\sqrt{3}$

Något bra knep som jag lärde mig när jag var yngre:  $\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}}}=\frac{a}{b}\frac{d}{c}$

När du beräknade $arc\tan \left(\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right)$så kan vi införa regeln ovan och så får vi:

$arc\tan \left(\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right)=arc\tan \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{2}{1}\right)=arc\tan \left(\sqrt{3}\right)$

Alltså såhär? Så de blir (cos60+isin60)? Och sätter jag sedan in det i den förenklade parantesen?

Ja, det inringade är egentligen en sidouträkning (förenkling av bråket).

Sedan kan du ta detta upphöjt till 96.

Din första ansats efter det var rätt, dvs att dela upp exponenten 96 i två delar: "Ett helt varv"•"Antal hela varv".

Såhär? Och hur fortsätter jag?

3•60° = 180°, men ett helt varv är 360°.

Hur menar du?

3*60*2 = 360? Menar du att jag kan skriva parantesen annorlunda än 3*32?

Du kan skriva 96 som 6•16.

Visa hur ditt uttryck då ser ut.

Såhär?

Titta I den här tråden.

Om du skriver uttrycket på exponentiell polär form så blir allting mycket enkelt.

Alltså endast såhär?

Ja, endast så.

Okej så svaret blir 1? 

jag förstår allt förutom sista raden, hur blir det 360*16?

60•96 = 60•6•16 = 360•16

Okej men varför delar man upp det så? 

Egentligen ska vi ange vinkeln i radianer.

Vi har att det komplexa talet $z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{3}$ kan skrivas $z=e^{i\frac{\pi}{3}}$ på exponentiell polär form.

Vi får då att $z^{96}=(e^{i\frac{\pi}{3}})^{96}=e^{i\frac{\pi}{3}\cdot6\cdot16}=$

$=e^{i\cdot2\pi\cdot16}=(e^{i\cdot2\pi})^{16}=1^{16}=1$

Detta eftersom $e^{i\cdot2\pi}=1$