Förenkling/omskrivning

Hej!

Jag har försökt att förenkla/skriva om följande

$u''(r)-\frac{u'(r)^{2}}{u(r)}+\frac{u'(r)}{r} = -K \cdot u(r)^{2}$

där K är en konstant, $r>0$ , $u(r) = \frac{1}{f(r)r^{2}}$ för en funktion $f$ , $u'(r) = -\frac{f'(r)r+2f(r)}{f(r)^{2}r^{3}}$ , och:

(Jag hoppas att jag även deriverat rätt?).

Jag vet att om $K = -1$ så ska detta förenklas till $r^{2}f(r)f''(r)-r^{2}\left(f'(r)\right)^{2}+rf(r)f'(r)+f(r)=0$ . Men när jag stoppar in allt och försöker förenkla kommer jag fram till (med K):

$f''(r)r^{2}f(r)+r^{2}f(r)\left(f'(r)\right)^{2}-2r^{2}f'(r)f(r)+rf(r)f'(r)-Kf(r)=0$ .

Kan ovanstående på något sätt förenklas till det som står ovan med $K=-1$ ? Eller har jag kanske helt enkelt deriverat fel?

EDIT: Jag började med att multiplicera allt med $f^{4}r^{6}$ , sen dividerade jag allt med $f^{2}r^{2}$ , och till slut så multiplicerade jag med $f$ . Så man kan väl lika gärna bara multiplicera allt med $f^{3}r^{4}$ direkt, men då kom jag hursomhelst fram till ovanstående...

Jag tipsade igår om att uttrycka förstaderivatan med hjälp av y, och andraderivatan med hjälp av y och y'. Samma knep kan användas här för att ge sig själv prydligare beräkningar och färre ställen att göra fel på. Man kan nämligen notera att $u = \frac{1}{fr^2}$ kan brytas ut ur u':

$u' = -\frac{f'r + 2f}{f^2r^3} = -(\frac{f'r + 2f}{fr})u = -(\frac{f'}{f}+\frac{2}{r})u$

(Det kan även hjälpa att utelämna variabelparenteserna, dvs. bara skriva f istället för f(r), för prydlighetens skull)

Detta deriveras sen med produktregeln:

$u'' = -(\frac{f'}{f}+\frac{2}{r})u' -(\frac{f'}{f}+\frac{2}{r})'u$

Och den första parentesen är ju precis den som ingår i uttrycket för förstaderivatan: $u' = -(\frac{f'}{f}+\frac{2}{r})u$ innebär att $-(\frac{f'}{f}+\frac{2}{r}) = \frac{u'}{u}$ . Detta kan då sättas in:

$u'' = \frac{u'^2}{u} -(\frac{f'}{f}+\frac{2}{r})'u$

Det återstår att derivera parentesuttrycket, men man kan redan nu notera att den första termen, $\frac{u'^2}{u}$ , återkommer i differentialekvationen fast där med negativt tecken. Dessa kommer alltså ta ut varandra. Man kan också se att alla termer innehåller faktorn u (eftersom u' gör det). Ett u kan därför divideras bort, och efter de två förenklingarna är man i stort sett framme vid resultatet från facit.

Tack för tipset!

Jag fastnar dock igen...

Först tog jag fram $u''$ och fick det till: $u'' = -\left(\left(\frac{f'}{f}+\frac{2}{r}\right)u'+u\left(\frac{f''f-(f')^{2}}{f^{2}}-\frac{2}{r^{2}}\right)\right)$ . Sedan stoppade jag in allt i uttrycket, och bytte tillbaka med $u = \frac{1}{fr^{2}}$ .

Efter att ha multiplicerat ut och multiplicerat med $\frac{1}{fr^{2}}$ så fick jag:

$\left(\frac{f'}{f}+\frac{2}{r}\right)^{2}-\left(\frac{f'}{f}+\frac{2}{r}\right)-\frac{f'}{fr}-\frac{2}{r^{2}}-\frac{f''}{f}+\frac{\left(f'\right)^{2}}{f^{2}}+\frac{2}{r^{2}}=\frac{-K}{fr^{2}}.$

Sen förenklade jag och multiplicerade med $-r^{2}f^{2}$ och fick (efter ytterligare förenkling):

$f''fr^{2}-2r^{2}\left(f'\right)^{2}-\left(3-r\right)f'fr-f^{2}\left(4-2r\right)=-Kf$ ...

Vet inte hur jag ska fortsätta för att få detta lika med (om man använder $K=-1$ ):

$r^{2}ff''-r^{2}\left(f'\right)^{2}+rff'+f=0.$

Missförstod jag kanske ditt tips?

Du skippade en förenkling jag visade i u'':

$u'' = -(\frac{f'}{f}+\frac{2}{r})u' - (\frac{f''f - f'^2}{f^2} - \frac{2}{r^2})u = \frac{u'^2}{u} - (\frac{f''f - f'^2}{f^2}- \frac{2}{r^2})u$

Om du nu sätter in u'' i diffekvationen:

$\frac{u'^2}{u} - (\frac{f''f - f'^2}{f^2}- \frac{2}{r^2})u -\frac{u'^2}{u} + \frac{u'}{r} = Ku^2$

Så tar första och tredje termerna ut varann:

$- (\frac{f''f - f'^2}{f^2}- \frac{2}{r^2})u + \frac{u'}{r} = Ku^2$

Och byter vi ut u' så kan vi sen förkorta bort ett u:

$- (\frac{f''f - f'^2}{f^2}- \frac{2}{r^2})u - \frac{1}{r}(\frac{f'}{f} + \frac{2}{r})u = Ku^2\\ - (\frac{f''f - f'^2}{f^2}- \frac{2}{r^2}) - \frac{1}{r}(\frac{f'}{f} + \frac{2}{r}) = Ku$

I det här steget kan du byta ut u:et, och förlänga allt med $f^2r^2$ som du gjorde. De omskrivningar jag gör ska förstås inte vara nödvändiga, men jag ser inte vad som går fel i ditt räknande så då visar jag istället min approach.

Jaha det var så du menade förstås...

Tack!

Svara

Visa senaste svar