Förenkling av trigonometrisk formel

Till att börja med kan vi konstatera att det stämmer - jag multiplicerade sin3x+sinx med 0,3 i stället för 0,25 bara för att det skulle synas.

Du brukar posta mattefråor på univeristetsnivå, är du säker på att detta hör hemma i Ma4? Där brukar man bara addera sinus- och cosinuskurvor med samma frekvens.

Det känns enklare att gå åt andra hållet, dvs att visa att $\frac{1}{4}(\sin(3x)+\sin(x))=\cos^2(x)\sin(x)$.

Börja då med additionsformeln för sinus på termen $\sin(3x)$: $\sin(3x)=\sin(2x)\cos(x)+\sin(x)\cos(2x)=$

{dubbla vinkeln sinus och cosinus}

$=2\sin(x)\cos(x)\cos(x)+\sin(x)(\cos^2(x)-\sin^2(x))=$

$=2\sin(x)\cos^2(x)+\sin(x)\cos^2(x)-\sin^3(x)=$

{bryt ut $\sin(x)$}

$=\sin(x)(2\cos^2(x)+\cos^2(x)-\sin^2(x))$

Det betyder att

$\frac{1}{4}(\sin(3x)+\sin(x))=$

$=\frac{1}{4}(\sin(x)(2\cos^2(x)+\cos^2(x)-\sin^2(x))+1)=$

{ersätt $1$ med $\sin^2(x)+\cos^2(x)$}

$=\frac{1}{4}(\sin(x)(2\cos^2(x)+\cos^2(x)-\sin^2(x))+\sin^2(x)+\cos^2(x))=$

$=\frac{1}{4}(\sin(x)(2\cos^2(x)+\cos^2(x)+\cos^2(x)))=$

$=\frac{1}{4}(\sin(x)\cdot4\cos^2(x))=$

$=\sin(x)\cos^2(x)$

Kanske finns någon enklare väg?