Förenkling av dubbelintegral

Jag ska bestämma för vilka $p>0$ som dubbelintegralen

$\int \inb_D \frac{1}{(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4)^p}$

konvergerar. D: x^2+y^2<1.

Jag har provat att byta till polära koordinater för att förenkla integranden men detta hjälper inte (man får en integrand som är svårhanterlig). Det ska finnas något variabelbyte som underlättar beräkningen genom symmetri, men jag kan inte hitta något. Kan någon se vad man kan göra?

Fixa till din LaTeX, du saknar också dydx, så det är svårt att veta med avseende på vad du ska integrera.

Tänk på att $(x^4+2x^3y+3x^2y^2++2xy^3+y^4)=(x^2+xy+y^2)^2$

Testa variabelbytet

$x=u-v$

$y=u+v$

Förenkla till $(3u^2+v^2)^2$ , använd sedan elliptiska koordinater. Alternativt kan du använda skills från inledande linjär algebra (diagonalisering med egenvektorer) för att hitta hela koordinatbytet på en gång. Jmfr kvadratiska former / homogena polynom.

Tack så mycket! Ska försöka räkna på detta.

Dock: Tycker frågan hintar om variabelsubstitutioner som påtagligt förenklar beräkningen, kanske pga att definitionsmängden är symmetrisk runt origo. Finns någon sådan kanske? Det här tillvägagångssättet känns ganska komplicerat.

Svara

Visa senaste svar