förenkling av derivata

Ja, det är en början. Skriv sedan om ettan så du får:

$\dfrac{\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$

Klarnar det mera nu?

jag får då $\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{{\displaystyle \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}+x}}}=\frac{\sqrt{1+x^2}{\displaystyle +}{\displaystyle x}}{\left(\sqrt{1+x^2}{\displaystyle +}{\displaystyle x}\right){\displaystyle \left(\sqrt{1+x^2}\right)}}=\frac{\sqrt{1+x^2}{\displaystyle +}{\displaystyle x}}{1+x^2+\sqrt{1+x^2}}$ och stryker sedan $\sqrt{1+x^2}$ från både täljare och nämnare och får kvar $\frac{x}{1+x^2}$ men då har jag inte längre kvar rottecknet vilket ska finnas kvar enligt svaret.

Nej, nu blev det väldigt konstigt.

Om man adderar ihop termerna i uttrycket jag skrev får man:

$\dfrac{\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$

Detta är lika med:

$\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$

Och nu kan du förkorta bort faktorn $x+\sqrt{1+x^2}$.

okej och då kan vi stryka $\sqrt{1+x^2}$ från täljare och nämnare och har bara kvar x och får då $x\times \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ efter att man stryker x:en från täljaren och nämnaren.

Nej, man får bara stryka som du gjort om det är multiplikation (inte addition) mellan uttrycken.

I själva verket är det $x+\sqrt{1+x^2}$ i täljaren till vänster och $x+\sqrt{1+x^2}$ i nämnaren till höger som tar ut varandra:

$\dfrac{\cancel{x+\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \dfrac{1}{\cancel{x+\sqrt{1+x^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Hej!

Derivatan är

    $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \text{Inre derivata}.$

Den inre derivatan är lika med

    $\displaystyle 1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}$ 

som också kan skrivas $\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}$.

Den sökta derivatan är alltså lika med

    $\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$

Beräkningen avslutas med att notera att det gäller att $\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = 1.$