Förenkling av deltafunktion

De skriver antagligen om via partiell integration så man kan växla derivatan på deltafunktionen mot derivatan på x^2.

Tänk sedan på att

f(x)*delta(x - 1) = f(1)*delta(x - 1)

Glöm det där med partiell integration. Jag dammade av kurslitteraturen och hittade ett liknande exempel bland övningsuppgifterna (7.5).

Kommer inte på för tillfället hur man visar detta, men det vet säkert Stokastisk, Guggle eller Albiki. 

Hej!

Tack för svar :)

Kom på att den formeln jag använde - enbart går om delta är enbart delta (alltså inte prim(deriverad)). Så den formeln facit använder är rätt!

Hej!

Du har en produkt av en glatt funktion ($x^2$) och en distribution ($\delta'_{1}$), vilket resulterar i en distribution. Du vill visa att denna distribution ($F$) är lika med en annan distribution ($G$) på den öppna mängden $\mathbf{R}$, det vill säga att $F[\phi] = G[\phi]$ för varje testfunktion $\phi$ vars stöd är en delmängd av $\mathbf{R}\ .$

Albiki

Hej!

Eftersom testfunktionen har kompakt stöd gäller det att

    $F[\phi] = \int_{\mathbf{R}}x^2\delta'_{1}(x)\phi(x)\,\text{d}x = -2\phi(1)-\int_{\mathbf{R}}x^2\delta_{1}(x)\phi'(x)\,\text{d}x\ .$

Albiki

Hej!

Det gäller även att

    $\int_{\mathbf{R}}x^2\delta_{1}(x)\phi'(x)\,\text{d}x = \phi'(1)\ .$

Om $H$ är en distribution så definieras dess derivata som distributionen $H'$ sådan att

    $H'[\phi] = -H[\phi'].$

Eftersom $\phi'(1) = \delta_{1}[\phi']$  så är

    $\phi'(1) = -\delta'_{1}[\phi]\ .$

Resultat:

    $F[\phi] = -2\delta_{1}[\phi] + \delta'_{1}[\phi] = (\delta'_{1}-2\delta_{1})[\phi]\ .$

Eftersom detta gäller för varje testfunktion på $\mathbf{R}$ så följer det att

    $x^2\delta'_{1} = \delta'_{1}-2\delta_{1}\ .$

Albiki