Förenklar utan moivers formel

4) Förenkla uttrycket ${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{96}$ så långt som möjligt utan att använda de Moivres formel.

Jag började med att ändra uttrycket till ${({(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{3})}^{32}$ . Alltså

${((\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i))}^{32}$ .

Här är jag lite förvirrade om jag ska gå igenom allt direkt alltså

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) \frac{1}{2} * \frac{1}{2} + \frac{1}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{1}{2} * \frac{1}{2} + \frac{1}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{\sqrt{3}}{2} i \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = 0, 25 \frac{1}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} i = \frac{\sqrt{3}}{4} i \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{\sqrt{3}}{2} i = - \frac{3}{4} 0, 25 + \frac{\sqrt{3}}{4} i + 0, 25 + \frac{\sqrt{3}}{4} i + \frac{\sqrt{3}}{4} i - 0, 75 + \frac{\sqrt{3}}{4} i - 0, 75 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{4} i + \frac{\sqrt{3}}{4} i + \frac{\sqrt{3}}{4} i + \frac{\sqrt{3}}{4} i = - 1 + \sqrt{3} i ({(- 1 + \sqrt{3} i)}^{2})^{16}$

$({(- 1 + \sqrt{3} i)}^{2})^{16}) ((- 1 + \sqrt{3} i) {(- 1 + \sqrt{3} i))}^{16} - 1 * - 1 - 1 * \sqrt{3} i + \sqrt{3} i * - 1 + \sqrt{3} i * \sqrt{3} i - 1 * - 1 = 1 - 1 * \sqrt{3} i = - \sqrt{3} i \sqrt{3} i * \sqrt{3} i = - 3 {(1 - 2 \sqrt{3} i - 3)}^{16} = - 2 - 2 \sqrt{3} i ({(- 2 - 2 \sqrt{3} i)}^{2})^{8 =} - 2 * - 2 - 2 * - 2 \sqrt{3} - 2 * - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} * - 2 \sqrt{3} i 4 + 4 \sqrt{3} i - 12 = {(- 8 + 4 \sqrt{3} i)}^{8 = {(- 8 + 4 \sqrt{3} i)}^{2}})^{4} (- 8 + 4 \sqrt{3} i) (- 8 + 4 \sqrt{3} i) = 64 - 64 \sqrt{3} i - 48 = {(16 - 64 \sqrt{3} i)}^{2})^{2} {(16 - 64 \sqrt{3} i)}^{2} = 225 + 2048 \sqrt{3} - 12288 = {(- 12063 + 2048 \sqrt{3})}^{2} = 145515969 - 49410048 \sqrt{3} i - 12582912 = 132933057 - 49410048 \sqrt{3} i$

men när jag slå det på miniräknaren bli det 1. så jag har nog gjort fel någonstans

Jag tror själv att det är när jag multiplicera de tre parenteserna som blev fel, då jag bara slå det på miniräknaren blev det -1. Men vet inte hur jag ska räkna det så det bli just -1

Om du får använda sambanden Arg(z₁•z₂) = Arg(z₁)+Arg(z₂) och Abs(z₁•z₂) = Abs(z₁)•Abs(z₂) så bör du göra det. Skriv då först det komplexa talet $z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ på polär form och använd förenklingen $z^{96}=(z^3)^{32}$ som du började på.

Om du inte får använda de sambanden så kan du istället gå vidare och multiplicera ihop parenteserna som du började på.

Men det blir fel när du försöker multiplicera ihop de tre parenteserna. Börja med att multiplocera ihop r

två av parenteser så blir det färre termer att hålla reda på i huvudet.

men bli det då att jag använder moivers formel då?

Gränsfall.

Om du beräknar z³ enligt Arg(z³) = 3•Arg(z) och Abs(z³) = (Abs(z))³ så är det de Moivres formel, men om du först beräknar w = z•z och sedan beräknar w•z med hjälp av sambanden så kanske det är tillåtet.

tror inte det kommer vara tillåtet men vad menar du med r i ditt föra inlägg?

${((\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i))}^{32} s å d u v i l l a t t j a g s k a g ö r a s å h ä r ((\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)) * (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) a l l t s å \frac{1}{2} * \frac{1}{2} + \frac{1}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{\sqrt{3}}{2} i = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i + \frac{\sqrt{3}}{4} i - \frac{3}{4} = - \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} i = (- \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) - \frac{2}{4} * \frac{1}{2} + - \frac{2}{4} * \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} * \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{\sqrt{3}}{2} i = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i + \frac{\sqrt{3}}{4} i - \frac{3}{4} = - 1 {(- 1)}^{32} = 1$

rolf skrev:
tror inte det kommer vara tillåtet men vad menar du med r i ditt föra inlägg?

JG skrev fel, det skulle stå

"Börja med att multiplocera ihop två av parenteserna så blir ..."

rolf skrev:
${((\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i))}^{32} s å d u v i l l a t t j a g s k a g ö r a s å h ä r ((\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)) * (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) a l l t s å \frac{1}{2} * \frac{1}{2} + \frac{1}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{\sqrt{3}}{2} i = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i + \frac{\sqrt{3}}{4} i - \frac{3}{4} = - \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} i = (- \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) - \frac{2}{4} * \frac{1}{2} + - \frac{2}{4} * \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} * \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i * \frac{\sqrt{3}}{2} i = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i + \frac{\sqrt{3}}{4} i - \frac{3}{4} = - 1 {(- 1)}^{32} = 1$

Ja, det stämmer. Det saknas lite saker här och där, men det syns att du har förstått.

Tack, ja jag har översiktligt koll på förenklingen ska bara renskriva allt sen

Svara

Visa senaste svar