Förenkla uttrycket (-x)+(x^3+1)/(x+1)

Är uttrycket $(-x)+\frac{(x^3+1)}{(x+1)}$, som du har skrivit, eller $\frac{(-x)+(x^3-1)}{(x+1)}$, d v s ((-x) + (x³+1))/(x+1) eller (-x+x³+1)/(x+1) ?

Smaragdalena skrev:

Är uttrycket $(-x)+\frac{(x^3+1)}{(x+1)}$, som du har skrivit, eller $\frac{(-x)+(x^3-1)}{(x+1)}$, d v s ((-x) + (x³+1))/(x+1) eller (-x+x³+1)/(x+1) ?

Ditt första exempel. Hur gör jag så själv? Förstår att det blir otydligt.

Förtydligande: (-x) står till vänster om divisionen och ska adderas.

Då skulle jag förlänga första termen med (x+1) så att hela uttrycket får samma nämnare och försöka faktorisera den nya täljaren. Om det går att bryta ut (x+1) ur täljaren går det att förkorta bort detta.

Smaragdalena skrev:

Då skulle jag förlänga första termen med (x+1) så att hela uttrycket får samma nämnare och försöka faktorisera den nya täljaren. Om det går att bryta ut (x+1) ur täljaren går det att förkorta bort detta.

Hur skriver jag om (-x) för att få (x+1) som nämnare i första termen? 
Jag tänker, rent intuitivt; "vad multiplicerat med x+1 = (-x)
f(a) = a(x+1)
a(x+1) = (-x)
ax+a = (-x)

Jag snurrar bara in mig i cirklar, haha. Vet inte ens om jag är inne på rätt spår.

Förläng första termen med (x+1), så får du $\frac{(-x)(x+1)+(x^3+1)}{(x+1)}$. Förenkla täljaren och undersök om täljaren är delbar med (x+1), d v s kolla om den har värdet 0 om man sätter in att x=-1.

Smaragdalena skrev:

Förläng första termen med (x+1), så får du $$(-x)(x+1)+(x^3+1)}{(x+1)$$. Förenkla täljaren och undersök om täljaren är delbar med (x+1), d v s kolla om den har värdet 0 om man sätter in att x=-1.

Jag får fram (x³-x²-x+1) som helt uttryck.
Hur undersöker jag om täljaren är jämnt delbar med (x+1) på bästa sätt, och varför är täljaren per automatik delbar med (x+1) när x=(-1)?

Täljaren är ett tredjegradsuttryck. Alla tredjegradsuttryck kan skrivas som t(x)=k(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃) där x₁,  x₂ och x₃ är de tre lösningarna till ekvationen t(x)=0 (ibland är det bara en av rötterna som är reell) och k är en konstant. Om x=-1 är en lösning till ekvationen x³-x²-x+1 så har täljaren värdet 0 när x=-1 och i så fall kan täljaren skrivas som t(x)=k(x+1)(x-x₂)(x-x₃₎ eller t(x)=(x+1)(ax²+bx+c). Om du multiplicerar ihop (x+1)(ax²+bx+c) skall det alltså bli lika med x³-x²-x+1. Du behöver alltså få fram att koefficienten för x3-termen skall vara 1, för x2-termen -2, för x-termen -1 och konstanttermen skall vara 1. Vilka värden ger detta för a, b och c?

f(x) = (-x)+((x³+1)/(x+1))
(-x)+((x³+1)/(x+1)) = 0
(x³-x²-x+1) = 0

Elevens förenkling: (x-1)

"Om x=-1 är en lösning till ekvationen x3-x2-x+1 så har täljaren värdet 0 när x=-1"

Hur får jag fram att x=-1 ens är ett alternativ till nollställe från första början?

Förlåt för att det går segt, men jag försöker verkligen och du förklarar riktigt bra. Tack för hjälpen! Ifall jag förstår hur jag kommer fram till att ens föreslå x=-1 som ett alternativ rent matematiskt förstår jag nog hela problemet genom det.

EDIT: Jag ser ju att f(-1) = (x³-x²-x+1) = ((-1)³-(-1)²-(-1)+1) = 0 är korrekt, men hur får jag fram siffran (-1) från första början?

Om det skall gå att förkorta uttrycket $\frac{x^3-x^2-x+1}{x+1}$ så måste x-1 vara en faktor i x³-x²-x+1, annars skulle det inte gå att bryta ut faktorn x+1. Är du med på det?

Smaragdalena skrev:

Om det skall gå att förkorta uttrycket $\frac{x^3-x^2-x+1}{x+1}$ så måste x-1 vara en faktor i x³-x²-x+1, annars skulle det inte gå att bryta ut faktorn x+1. Är du med på det?

Nej, och det är nog där det brister för mig. Jag gissar att det är något väldigt grundläggande jag missar?

$$\begin{gathered} \frac{x^3+1}{x+1}-1= \\ \frac{x^3+1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}= \\ \frac{x^3+1-x-1}{x+1}= \\ \frac{x^3-x}{x+1}= \\ \frac{x(x^2-1)}{x+1}= \\ \frac{x(x+1)(x-1)}{x+1}= \\ x(x-1)\ne x-1 \end{gathered}$$

Edit: Det sista där är jag osäker på om det stämmer. Vet inte riktigt hur man ska visa på att eleven hade fel, men där har du förenklingen.

Euclid skrev:

$$\begin{gathered} \frac{x^3+1}{x+1}-1= \\ \frac{x^3+1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}= \\ \frac{x^3+1-x-1}{x+1}= \\ \frac{x^3-x}{x+1}= \\ \frac{x(x^2-1)}{x+1}= \\ \frac{x(x+1)(x-1)}{x+1}= \\ x(x-1)\ne x-1 \end{gathered}$$

Edit: Det sista där är jag osäker på om det stämmer. Vet inte riktigt hur man ska visa på att eleven hade fel, men där har du förenklingen.

Jag hänger med i allt, förutom i just det första steget.

Varför är "(x³+1)/(x+1) - 1" = "(x³+1)/(x+1) - x" ?

Jag kan inte tacka nog för tålamodet... Kan inte vara lätt att förklara när jag verkar missa något grundläggande.

lillmackish skrev:

Euclid skrev:

$$\begin{gathered} \frac{x^3+1}{x+1}-1= \\ \frac{x^3+1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}= \\ \frac{x^3+1-x-1}{x+1}= \\ \frac{x^3-x}{x+1}= \\ \frac{x(x^2-1)}{x+1}= \\ \frac{x(x+1)(x-1)}{x+1}= \\ x(x-1)\ne x-1 \end{gathered}$$

Edit: Det sista där är jag osäker på om det stämmer. Vet inte riktigt hur man ska visa på att eleven hade fel, men där har du förenklingen.

Jag hänger med i allt, förutom i just det första steget.

Varför är "(x³+1)/(x+1) - 1" = "(x³+1)/(x+1) - x" ?

Jag kan inte tacka nog för tålamodet... Kan inte vara lätt att förklara när jag verkar missa något grundläggande.

Osäker på vad du menar. Ser inte att jag skrivit att (x^3+1)/(x+1) - 1 = (x^3+1)/(x+1) - x. 

Första steget är att man skriver om $1$ till $\frac{x+1}{x+1}$ fså att man kan skriva hela uttrycket med ett enda bråkstreck.

Euclid skrev:
Osäker på vad du menar. Ser inte att jag skrivit att (x^3+1)/(x+1) - 1 = (x^3+1)/(x+1) - x. 

Ursprungsfunktionen är: (-x) + ((x3+1)/(x+1))

Du börjar räkna genom att skriva den som: ((x3+1)/(x+1)) - 1

Enda skillnaden mellan de båda funktionerna är väl att "(-x)" från ursprungsfunktionen ändras till (-1) i din formulering?

Varför blev (-x) = (-1)

lillmackish skrev:

Euclid skrev:

Visa föregående citat

Osäker på vad du menar. Ser inte att jag skrivit att (x^3+1)/(x+1) - 1 = (x^3+1)/(x+1) - x. 

Ursprungsfunktionen är: (-x) + ((x³+1)/(x+1))

Du börjar räkna genom att skriva den som: ((x³+1)/(x+1)) - 1

Enda skillnaden mellan de båda funktionerna är väl att "(-x)" från ursprungsfunktionen ändras till (-1) i din formulering?

Varför blev (-x) = (-1)

lillmackish, kan du redigera ditt senaste inlägg så att det syns vad du har skrivit, om det är något? Som det är nu, ser det ut som om du bara har citerat det som Euclid skrev, men jag gissar att det inte är så. Den här tråden blir väldigt rörigoch svår att förstå om man inte kan se vem som har skrivit vad. /moderator

lillmackish skrev:

[...]

Jag ska visa varför det inte stämmer 

[...]

Det enklaste sättet att visa att elevens förenkling inte stämmer är att välja ett x som ger de båda uttrycken olika värden. Till exempel x = 0 gör att ursprungsuttrycket har värdet 1 och elevens uttryck har värdet -1.

Yngve skrev:

lillmackish skrev:

[...]

Jag ska visa varför det inte stämmer 

[...]

Det enklaste sättet att visa att elevens förenkling inte stämmer är att välja ett x som ger de båda uttrycken olika värden. Till exempel x = 0 gör att ursprungsuttrycket har värdet 1 och elevens uttryck har värdet -1.

Precis. Just att prova mig fram för att visa att elevens förenkling är fel går ju, men jag försöker verkligen förstå hur jag gör det matematiskt utan att "gissa" mig fram. Det verkar som att jag missar något grundläggande i mitt tänk, och då är det svårt för er att nå fram till mig.

lillmackish skrev:

Precis. Just att prova mig fram för att visa att elevens förenkling är fel går ju, men jag försöker verkligen förstå hur jag gör det matematiskt utan att "gissa" mig fram. Det verkar som att jag missar något grundläggande i mitt tänk, och då är det svårt för er att nå fram till mig.

OK. Har du några frågor kring de tips du redan fått i denna tråd?