19 svar
893 visningar
lillmackish 66
Postad: 13 dec 2019 09:27 Redigerad: 13 dec 2019 09:28

Förenkla uttrycket (-x)+(x^3+1)/(x+1)

I en klass har en elev förenklat uttrycket (-x) + (x3+1)/(x+1) till "x-1".

Jag ska visa varför det inte stämmer, och sedan förenkla uttrycket så långt det går.

Var börjar jag? Ska jag försöka faktorisera (x3+1) för att bryta ut (x+1), eller är det fel sätt att börja på?

Det går ju självklart att testa sig fram genom olika x-värden för att hitta att elevens förenkling är felaktig, men hur förenklar jag uttrycket effektivt?

Tack på förhand, vänner

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 13 dec 2019 09:47

Är uttrycket (-x)+(x3+1)(x+1)(-x)+\frac{(x^3+1)}{(x+1)}, som du har skrivit, eller (-x)+(x3-1)(x+1)\frac{(-x)+(x^3-1)}{(x+1)}, d v s ((-x) + (x3+1))/(x+1) eller (-x+x3+1)/(x+1) ?

lillmackish 66
Postad: 13 dec 2019 09:51 Redigerad: 13 dec 2019 09:53
Smaragdalena skrev:

Är uttrycket (-x)+(x3+1)(x+1)(-x)+\frac{(x^3+1)}{(x+1)}, som du har skrivit, eller (-x)+(x3-1)(x+1)\frac{(-x)+(x^3-1)}{(x+1)}, d v s ((-x) + (x3+1))/(x+1) eller (-x+x3+1)/(x+1) ?

Ditt första exempel. Hur gör jag så själv? Förstår att det blir otydligt.

Förtydligande: (-x) står till vänster om divisionen och ska adderas.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 13 dec 2019 10:39

Då skulle jag förlänga första termen med (x+1) så att hela uttrycket får samma nämnare och försöka faktorisera den nya täljaren. Om det går att bryta ut (x+1) ur täljaren går det att förkorta bort detta.

lillmackish 66
Postad: 13 dec 2019 10:53
Smaragdalena skrev:

Då skulle jag förlänga första termen med (x+1) så att hela uttrycket får samma nämnare och försöka faktorisera den nya täljaren. Om det går att bryta ut (x+1) ur täljaren går det att förkorta bort detta.

Hur skriver jag om (-x) för att få (x+1) som nämnare i första termen? 
Jag tänker, rent intuitivt; "vad multiplicerat med x+1 = (-x)
f(a) = a(x+1)
a(x+1) = (-x)
ax+a = (-x)

Jag snurrar bara in mig i cirklar, haha. Vet inte ens om jag är inne på rätt spår.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 13 dec 2019 11:06 Redigerad: 14 dec 2019 15:22

Förläng första termen med (x+1), så får du (-x)(x+1)+(x3+1)(x+1)\frac{(-x)(x+1)+(x^3+1)}{(x+1)}. Förenkla täljaren och undersök om täljaren är delbar med (x+1), d v s kolla om den har värdet 0 om man sätter in att x=-1.

lillmackish 66
Postad: 14 dec 2019 14:19 Redigerad: 14 dec 2019 14:20
Smaragdalena skrev:

Förläng första termen med (x+1), så får du $$(-x)(x+1)+(x^3+1)}{(x+1)$$. Förenkla täljaren och undersök om täljaren är delbar med (x+1), d v s kolla om den har värdet 0 om man sätter in att x=-1.

Jag får fram (x3-x2-x+1) som helt uttryck.
Hur undersöker jag om täljaren är jämnt delbar med (x+1) på bästa sätt, och varför är täljaren per automatik delbar med (x+1) när x=(-1)?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 14 dec 2019 15:33

Täljaren är ett tredjegradsuttryck. Alla tredjegradsuttryck kan skrivas som t(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3) där x1,  x2 och x3 är de tre lösningarna till ekvationen t(x)=0 (ibland är det bara en av rötterna som är reell) och k är en konstant. Om x=-1 är en lösning till ekvationen x3-x2-x+1 så har täljaren värdet 0 när x=-1 och i så fall kan täljaren skrivas som t(x)=k(x+1)(x-x2)(x-x3) eller t(x)=(x+1)(ax2+bx+c). Om du multiplicerar ihop (x+1)(ax2+bx+c) skall det alltså bli lika med x3-x2-x+1. Du behöver alltså få fram att koefficienten för x3-termen skall vara 1, för x2-termen -2, för x-termen -1 och konstanttermen skall vara 1. Vilka värden ger detta för a, b och c?

lillmackish 66
Postad: 14 dec 2019 16:10 Redigerad: 14 dec 2019 16:15

f(x) = (-x)+((x3+1)/(x+1))
(-x)+((x3+1)/(x+1)) = 0
(x3-x2-x+1) = 0

Elevens förenkling: (x-1)

"Om x=-1 är en lösning till ekvationen x3-x2-x+1 så har täljaren värdet 0 när x=-1"

Hur får jag fram att x=-1 ens är ett alternativ till nollställe från första början?

Förlåt för att det går segt, men jag försöker verkligen och du förklarar riktigt bra. Tack för hjälpen! Ifall jag förstår hur jag kommer fram till att ens föreslå x=-1 som ett alternativ rent matematiskt förstår jag nog hela problemet genom det.

EDIT: Jag ser ju att f(-1) = (x3-x2-x+1) = ((-1)3-(-1)2-(-1)+1) = 0 är korrekt, men hur får jag fram siffran (-1) från första början?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 14 dec 2019 16:46

Om det skall gå att förkorta uttrycket x3-x2-x+1x+1\frac{x^3-x^2-x+1}{x+1} så måste x-1 vara en faktor i x3-x2-x+1, annars skulle det inte gå att bryta ut faktorn x+1. Är du med på det?

lillmackish 66
Postad: 14 dec 2019 17:16
Smaragdalena skrev:

Om det skall gå att förkorta uttrycket x3-x2-x+1x+1\frac{x^3-x^2-x+1}{x+1} så måste x-1 vara en faktor i x3-x2-x+1, annars skulle det inte gå att bryta ut faktorn x+1. Är du med på det?

Nej, och det är nog där det brister för mig. Jag gissar att det är något väldigt grundläggande jag missar?

Euclid 572
Postad: 14 dec 2019 17:41 Redigerad: 14 dec 2019 17:45

x3+1x+1-1=x3+1x+1-x+1x+1=x3+1-x-1x+1=x3-xx+1=x(x2-1)x+1=x(x+1)(x-1)x+1=x(x-1)x-1

Edit: Det sista där är jag osäker på om det stämmer. Vet inte riktigt hur man ska visa på att eleven hade fel, men där har du förenklingen.

lillmackish 66
Postad: 14 dec 2019 17:54
Euclid skrev:

x3+1x+1-1=x3+1x+1-x+1x+1=x3+1-x-1x+1=x3-xx+1=x(x2-1)x+1=x(x+1)(x-1)x+1=x(x-1)x-1

Edit: Det sista där är jag osäker på om det stämmer. Vet inte riktigt hur man ska visa på att eleven hade fel, men där har du förenklingen.

Jag hänger med i allt, förutom i just det första steget.

Varför är "(x3+1)/(x+1) - 1" = "(x3+1)/(x+1) - x" ?

Jag kan inte tacka nog för tålamodet... Kan inte vara lätt att förklara när jag verkar missa något grundläggande.

Euclid 572
Postad: 14 dec 2019 19:00
lillmackish skrev:
Euclid skrev:

x3+1x+1-1=x3+1x+1-x+1x+1=x3+1-x-1x+1=x3-xx+1=x(x2-1)x+1=x(x+1)(x-1)x+1=x(x-1)x-1

Edit: Det sista där är jag osäker på om det stämmer. Vet inte riktigt hur man ska visa på att eleven hade fel, men där har du förenklingen.

Jag hänger med i allt, förutom i just det första steget.

Varför är "(x3+1)/(x+1) - 1" = "(x3+1)/(x+1) - x" ?

Jag kan inte tacka nog för tålamodet... Kan inte vara lätt att förklara när jag verkar missa något grundläggande.

Osäker på vad du menar. Ser inte att jag skrivit att (x^3+1)/(x+1) - 1 = (x^3+1)/(x+1) - x. 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 14 dec 2019 19:34

Första steget är att man skriver om 11 till x+1x+1\frac{x+1}{x+1} fså att man kan skriva hela uttrycket med ett enda bråkstreck.

lillmackish 66
Postad: 14 dec 2019 21:23 Redigerad: 15 dec 2019 00:17

 

Euclid skrev:
Osäker på vad du menar. Ser inte att jag skrivit att (x^3+1)/(x+1) - 1 = (x^3+1)/(x+1) - x. 

Ursprungsfunktionen är: (-x) + ((x3+1)/(x+1))

Du börjar räkna genom att skriva den som: ((x3+1)/(x+1)) - 1

Enda skillnaden mellan de båda funktionerna är väl att "(-x)" från ursprungsfunktionen ändras till (-1) i din formulering?

Varför blev (-x) = (-1)

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 14 dec 2019 21:34
lillmackish skrev:
Euclid skrev:
Osäker på vad du menar. Ser inte att jag skrivit att (x^3+1)/(x+1) - 1 = (x^3+1)/(x+1) - x. 

Ursprungsfunktionen är: (-x) + ((x3+1)/(x+1))

Du börjar räkna genom att skriva den som: ((x3+1)/(x+1)) - 1

Enda skillnaden mellan de båda funktionerna är väl att "(-x)" från ursprungsfunktionen ändras till (-1) i din formulering?

Varför blev (-x) = (-1)

lillmackish, kan du redigera ditt senaste inlägg så att det syns vad du har skrivit, om det är något? Som det är nu, ser det ut som om du bara har citerat det som Euclid skrev, men jag gissar att det inte är så. Den här tråden blir väldigt rörigoch svår att förstå om man inte kan se vem som har skrivit vad. /moderator

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 14 dec 2019 21:48
lillmackish skrev:

[...]

Jag ska visa varför det inte stämmer 

[...]

Det enklaste sättet att visa att elevens förenkling inte stämmer är att välja ett x som ger de båda uttrycken olika värden. Till exempel x = 0 gör att ursprungsuttrycket har värdet 1 och elevens uttryck har värdet -1.

lillmackish 66
Postad: 15 dec 2019 00:20
Yngve skrev:
lillmackish skrev:

[...]

Jag ska visa varför det inte stämmer 

[...]

Det enklaste sättet att visa att elevens förenkling inte stämmer är att välja ett x som ger de båda uttrycken olika värden. Till exempel x = 0 gör att ursprungsuttrycket har värdet 1 och elevens uttryck har värdet -1.

Precis. Just att prova mig fram för att visa att elevens förenkling är fel går ju, men jag försöker verkligen förstå hur jag gör det matematiskt utan att "gissa" mig fram. Det verkar som att jag missar något grundläggande i mitt tänk, och då är det svårt för er att nå fram till mig.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 15 dec 2019 00:54
lillmackish skrev:

Precis. Just att prova mig fram för att visa att elevens förenkling är fel går ju, men jag försöker verkligen förstå hur jag gör det matematiskt utan att "gissa" mig fram. Det verkar som att jag missar något grundläggande i mitt tänk, och då är det svårt för er att nå fram till mig.

OK. Har du några frågor kring de tips du redan fått i denna tråd?

Svara
Close