Förenkla uttryck

Man kan börja med att fråga sig om täljare och nämnare har några gemensamma faktorer. Vi ser att nämnaren är ${(x+1)}^2$. Finns faktorn $(x+1)$ i täljaren? Om den gör det, så betyder det att $x=-1$ är en rot till polynomet $x^2+7x+6$. Detta följer av faktorsatsen. Vi kan alltså testa om $x=-1$ är en rot till polynomet i täljaren. Är det en rot, så betyder det att täljaren kan skrivas på formen $(x+1)(x+\dots )$.

Alternativt kan vi använda $pq$-formeln för att ta reda på rötterna $x_1,x_2$ till polynomet i täljaren, och sedan skriva det som en produkt av två faktorer $(x-x_1)(x-x_2)$.

Pq-formeln får inte användas i nuläget.

jag har en lösning som gick ut på att lösa ut rötterna till täljaren med hjälp av kvadratkomplettering. Det förutsatte att jag satte ekvationen lika med noll (x²+7x+6)/(x+1)²=0

sedan så delar man upp konstanter och variabel.

tillämpa kvadratkomplettering, sedan kvadreringsregeln,sedan kvadratrotsmetoden

efter jag erhållit rötterna -1 och -6 så applicerade jag distributiva lagen.

sedan blev hela ekvationen med faktorisering av nämnaren

(X+1)(x+6) /(x+1)(x+1)

svaret blev (x+6)/(x+1)

Men jag undrar om jag kunde skippa att sätta ekvationen som lika med noll.

(x²+7x+6)/(x+1)²=0

och hålla mig enbart i vänsterled

Kvadratkomplettering fungerar också. Det man använder är faktorsatsen, som säger att om $-1$ och $-6$ är rötter till $x^2+7x+6$, så är $x^2+7x+6=(x+1)(x+6)$. Matematiskt kan man skriva ditt resonemang som följande:

Vi har att $x^2+7x+6={(x+\frac{7}{2})}^2-\frac{25}{4}$, så ${(x+\frac{7}{2})}^2-\frac{25}{4}=0\iff {(x+\frac{7}{2})}^2=\frac{25}{4}\iff x+\frac{7}{2}=\pm \frac{5}{2}$, vilket ger $x_1=-1$ och $x_2=-6$. Alltså är $x^2+7x+6=(x+1)(x+6)$ enligt faktorsatsen. Således är $\frac{x^2+7x+6}{{(x+1)}^2}=\frac{(x+1)(x+6)}{{(x+1)}^2}=\frac{x+6}{x+1}$.