Förenkla uttryck

Konjugatregeln är alltid ett rimligt första steg när man har differenser av potenser med samma exponent och jag skulle säga att du ska fortsätta med det.

Så normala konjugatregeln kan alltid användas när vi har differensen av två jämna potenser

$a^{2n} - b^{2n} = (a^n - b^n)(a^n + b^n)$

men för udda potenser kan man använda den generaliserade konjugatregeln

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4)$

$a^n - b^n = (a - b)\sum_{k = 0}^{n-1}a^{n - 1 - k}b^k$

vars bevis egentligen är samma som för geometriska summan. Lek med dem.

(Generaliserade konjugatregeln är en av de onmskirvningsformler som jag faktiskt explicit kan minnas att jag lärde mig på den här sidan)

Jo, jag tror att Dr. G kallar den exotiska kubregeln... Ok, jag försökerllösa när jag har papper/penna...!!!

TACK!

Ok, där är den:

https://www.pluggakuten.se/trad/sorgligt-algebradag-7/#post-6e78d8ff-04c4-423a-bf24-a8840133ef06

I vårt fall blir det:

$$\begin{gathered} a=(x-3) \\ b=(y+3) \\ \frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a^{3-1-1}-b^1\right)} \end{gathered}$$

varför blir det fel när jag försöker applicera $(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^{n-1-k}{b}^k$? Är inte n=3 och k=1?

Men men, eftersom vi vet att det är en andragrare här, vi bara fortsätter:

$$\begin{gathered} \frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{\left(a-b\right){\left(a+b\right)}^2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a-b\right)(a+b)}{\left(a-b\right){\left(a+b\right)}^2} \\ =\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)}=\frac{\left({\left(x-3\right)}^2+(y+3{)}^2\right)}{\left(x-3+y+3\right)}=\frac{\left({\left(x-3\right)}^2+(y+3{)}^2\right)}{\left(x-3+y+3\right)}=\frac{\left({\left(x-3\right)}^2+(y+3{)}^2\right)}{\left(x+y\right)} \end{gathered}$$

Ser det rätt ut?

dajamanté 

Men men, eftersom vi vet att det är en andragrare här, vi bara fortsätter:

$$\begin{gathered} \frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{\left(a-b\right){\left(a+b\right)}^2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a-b\right)(a+b)}{\left(a-b\right){\left(a+b\right)}^2} \\ =\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)}=\frac{\left({\left(x-3\right)}^2+(y+3{)}^2\right)}{\left(x-3+y+3\right)}=\frac{\left({\left(x-3\right)}^2+(y+3{)}^2\right)}{\left(x-3+y+3\right)}=\frac{\left({\left(x-3\right)}^2+(y+3{)}^2\right)}{\left(x+y\right)} \end{gathered}$$

Ser det rätt ut?

Nej första nämnaren blev fel. Det ska vara $(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Tack Yngve! Jag hade inte märkt att det var INTE $(a-$ gånger en vanlig kvadrat...

Och nu förstår jag grejen här också.

k=0:

$$\begin{gathered} a=(x-3) \\ b=(y+3) \\ \frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a^{(3-1-0)2}{b}^0+a^1{b}^1+a^{3-1-2}{b}^2\right)} \\ \frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)} \\ \frac{\left(a^2+b^2\right)(a+b)(a-b)}{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}= \\ \frac{\left(a^2+b^2\right)(a+b)}{\left(a^2+ab+b^2\right)}=\frac{\left({\left(x-3\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2\right)(x-3+y+3)}{{\left(x-3\right)}^2+(x-3)(y+3)+(y+3{)}^2} \\ \frac{\left({\left(x-3\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2\right)(x+y)}{{\left(x-3\right)}^2+(x-3)(y+3)+(y+3{)}^2} \end{gathered}$$

Edit: jag har tagit bort min sista slarvfel.

Det var rätt svar.

Jag måste komma ihåg den exotiskkubregel innan provet...

dajamanté skrev :

 

 ...

Jag måste komma ihåg den exotiskkubregel innan provet...

Det räcker att du kommer ihåg den på ett ungefär, typ att a^3 - b^3 = (a - b)("någonting med a^2, ab och b^2").

På provet är det sedan lätt att snabbt pröva sig fram till vad den andra parentesen ska vara.

Yngve skrev :

dajamanté skrev :

 

 ...

Jag måste komma ihåg den exotiskkubregel innan provet...

Det räcker att du kommer ihåg den på ett ungefär, typ att a^3 - b^3 = (a - b)("någonting med a^2, ab och b^2").

På provet är det sedan lätt att snabbt pröva sig fram till vad den andra parentesen ska vara.

Vet inte om tenta-lätt metoden kommer att rädda mig den här gången!