Förenkla så långt det går (svårt)

Om vi börjar med uppgift4 i första bild... Du kan bryta ut en 3:a i täljaren och i nämnaren. Vad får du då? :)

Eftersom du inte tagit med något bild eller skrivit hur du har försökt så har vi ingen aning vad du har provat.

Jag hade börjat på följande vis, vad har vi för gemensamma faktorer i täljaren samt nämnaren? Jo, börjar vi med täljaren, du kan bryta loss 3an och det går jämnt ut, du kan göra samma sak i nämnaren fast bryta loss 6an. efteer du har gjort detta, se efter vilka mer gemensamma faktorer du har samt vad du kan förkorta bort. notera då att 6= 3*2, så där kan du ta bort en 3a. Sedan har du kvar 2 andragradspolynom, använd pq-formeln eller kvadratkomplettering för att skriva de på faktorform, $k(x-x_1)(x-x_2)$sedan är det bara att förkorta ytterligare tills du inte har flera gemensamma faktorer (då är du färdig).

Visa dina steg och fråga igen om det är något som är oklart. Notera att detta fungerar på alla rationella uttryck på formen $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

Hej,

Täljaren: Talet 3 figurerar hos samtliga termer varför det kan brytas ut.

    $3(x^2+3x-40).$

Kvadratkomplettera polynomet. 

    $x^2+3x-40 = (x+1.5)^2 -42.25.$

Notera att $42.25 = 6.5^2$ så att polynomet kan skrivas $(x+1.5)^2-6.5^2.$ 

Faktorisera med hjälp av Konjugatregeln.

    $(x+1.5)^2-6.5^2 = (x+1.5+6.5)(x+1.5-6.5)=(x+8)(x-5).$

Täljaren kan alltså skrivas $3(x+8)(x-5).$

Nämnaren: Hantera den på samma sätt som täljaren. 

Tack för svaren! Jag kom så här långt först:

Men jag visste inte hur jag skulle fortsätta, eller om jag borde börjat på ett annat sätt. Hur var det jag skulle använda pq-formlen och kvadratkomplettering?

Edit: ska stå 3x i stället för 3 högst upp till höger.

Albiki skrev:

Hej,

Täljaren: Talet 3 figurerar hos samtliga termer varför det kan brytas ut.

    $3(x^2+3x-40).$

Kvadratkomplettera polynomet. 

    $x^2+3x-40 = (x+1.5)^2 -42.25.$

Notera att $42.25 = 6.5^2$ så att polynomet kan skrivas $(x+1.5)^2-6.5^2.$ 

Faktorisera med hjälp av Konjugatregeln.

    $(x+1.5)^2-6.5^2 = (x+1.5+6.5)(x+1.5-6.5)=(x+8)(x-5).$

Täljaren kan alltså skrivas $3(x+8)(x-5).$

Nämnaren: Hantera den på samma sätt som täljaren. 

Problemet med denna lösning Albiki är att jag helst vill kunna slippa använda miniräknaren. Får inte ha det på prov av min lärare heller nämligen. Vet inte om jag hade kunnat komma på 42,25 = 6,5^2

Men jag fick i alla fall fram rätt svar med din metod. Tack för det!

Testa pq-formeln istället och använda faktorsatsen om du inte vill kvadratkomplettera, det är dina 2 enda val för det mesta. tror inte du borde få så farliga tal med pq-formeln, prova!

Om du behåller bråkform har du 169/4. Att 169 är 13 i kvadrat kanske du inte har memorerat, men du kan hoppas att det är ett kvadrattal och prova 11 (för 10 blir bara 100) och uppåt. 

Jag har en allmän fråga kring detta som jag inte lyckas komma fram till ett svar på. Hur kommer det sig egentligen att metoden att kvadratkomplettera följt av att använda konjugatregeln så ofta gör att man kan hitta gemensamma faktorer i täljaren och nämnaren? Varför fungerar det liksom så bra? Att t.ex. täljaren kan uttryckas 3(x+8)(x-5) är väl bara en av möjligheterna. Men man skulle väl kunna ställa upp det på ett annat sätt också, där faktorerna ser annorlunda ut men beskriver samma täljare. Så då kommer det inte vara lika tydligt att faktorerna i täljaren och nämnaren tar ut varandra. Hoppas ni hänger med på vad jag är ute efter.

Att det stämmer så bra med gemensamma faktorer i täljaren och nämnaren är ju för att
det är matteuppgifter påhittade av en lärare så att det ska stämma. Syftet är ju att eleverna
ska kunna tillämpa sina kunskaper och hitta en lösning.

Din andra fråga, "3(x+8)(x-5) är väl bara en av möjligheterna". Nej, det är den enda möjligheten.
 

larsolof skrev:

Att det stämmer så bra med gemensamma faktorer i täljaren och nämnaren är ju för att
det är matteuppgifter påhittade av en lärare så att det ska stämma. Syftet är ju att eleverna
ska kunna tillämpa sina kunskaper och hitta en lösning.

Din andra fråga, "3(x+8)(x-5) är väl bara en av möjligheterna". Nej, det är den enda möjligheten.
 

Tack. Det var nog den där andra frågan jag behövde få svar på för att förstå. Så alltså betyder detta att täljaren bara kan beskrivas med just dessa tre faktorer. Därför fungerar metoden också så bra, eftersom man kan jämföra täljaren och nämnaren när de bägge är i fullt utvecklad faktorform. Det var det jag menade. Jag undrade om täljaren kanske kunde skrivas på många olika sätt i faktorform, vilket skulle göra det svårare att hitta gemensamma faktorer mellan täljaren och nämnaren. Hoppas det som jag beskriver nu inte är för otydligt. 

Här har en elak lärare skapat en matteuppgift:

Förenkla så långt det går    $\frac{3x^2 + 9x -120}{5x^2 + 5x - 30}$

Larsolof skrev:

Din andra fråga, "3(x+8)(x-5) är väl bara en av möjligheterna". Nej, det är den enda möjligheten.

Jag är glad att jag lärt mig detta nu. Förr kunde jag tro att ett och samma uttryck med variabler kunde ha många olika sammansättningar av faktorer. 

Men jag har ännu inte riktigt kunnat komma fram till hur man kan formulera en förklaring i ord till varför t.ex. 3(x+8)(x-5) bara kan förkortas så långt det går på ett enda sätt. Det känns säkert som en dum fråga och en självklarhet, men jag vill gärna kunna sätta ord på det. 

Det är kanske självklart tills man försöker bevisa det. Bra termer att slå upp är faktorsatsen och algebrans fundamentalsats,

Zeus skrev:

Larsolof skrev:

Din andra fråga, "3(x+8)(x-5) är väl bara en av möjligheterna". Nej, det är den enda möjligheten.

Jag är glad att jag lärt mig detta nu. Förr kunde jag tro att ett och samma uttryck med variabler kunde ha många olika sammansättningar av faktorer. 

Men jag har ännu inte riktigt kunnat komma fram till hur man kan formulera en förklaring i ord till varför t.ex. 3(x+8)(x-5) bara kan förkortas förenklas så långt det går på ett enda sätt. Det känns säkert som en dum fråga och en självklarhet, men jag vill gärna kunna sätta ord på det. 

När jag nu ska svara så tror jag mig förstå hur du menar, och menat tidigare, då du skrev: "Att t.ex. täljaren kan uttryckas 3(x+8)(x-5) är väl bara en av möjligheterna. Men man skulle väl kunna ställa upp det på ett annat sätt också, där faktorerna ser annorlunda ut men beskriver samma täljare. Så då kommer det inte vara lika tydligt att faktorerna i täljaren och nämnaren tar ut varandra."

Du har ju rätt i detta!!

Det går att faktorisera   $3\left(x^2+9x-120\right)$på olika sätt, så här:

$$\begin{gathered} 3(x+8)\left(x-5\right) \\ 3(\frac{x}{2}+4)(2x-10) \\ 3(\frac{x}{4}+2)(4x-40) \\ 3(\frac{x}{8}+1)(8x-120) \end{gathered}$$ 

Men man får väl anse att det första sätter är det mest/bäst förenklade sättet.
Och hade nämnaren innehållit t.ex. termen $(\frac{x}{4}+2)$så hade du kunnat göra om den till   $\frac{1}{4}·(x+8)$