Förenkla rationella uttryck, tänker jag rätt?

Hej! Vill gärna att ni kollar så jag tänker rätt gällande en uppgift. Detta är strategin jag brukar använda mig av när jag förenklar rationella uttryck:

1. Klassiskt bryta ut något, t.ex. $5 x + 10 x y = 5 x (1 + 2 y)$

2. Köra kvadrat- eller konjugatregeln baklänges, t.ex. $9 x^{2} - 25 = (3 x - 5) (3 x + 5)$ och $x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2}$

3. Faktorisera med hjälp av nollställen.

4. Bryta ut -1 om nödvändigt.

Uppgiften jag inte riktigt vet om jag tänker rätt lyder:

Förenkla
Följande rationella uttryck

$\frac{6 x^{2} + 44 x + 48}{6 x + 8}$

kan förenklas så att nämnaren bara är lika med 1. Vad blir då täljaren?
Svara utan mellanslag.

Min tankegång går såhär: Jag letar efter något jag kan bryta ut från täljaren eller nämnaren, hittar inget. Jag kollar om jag kan använda konjugat eller kvadrering på täljaren eller nämnaren men det fungerar inte heller. Efter 10 min med olika försök av uträkningar ger jag upp och sätter mig och kollar på flertalet videos om rationella uttryck på Youtube för att se om någon gör en liknande uppgift, hittar dock inget som liknar denna.

Jag går tillbaka till uppgiften och försöker hitta samband. Nu ser jag att jag kan faktorisera ut nämnaren (6x + 8) ur täljaren.

$\frac{(6 x + 8) (x + 6)}{6 x + 8}$ Nu stryker jag 6x + 8 i både täljare och nämnare. Kvar blir $x + 6$ .

Nu i efterhand ser jag att jag visst kunde använda mig av konjugatregeln, fast på ett annat sätt än jag gjort förut.

Nu till frågan. Svaret på uppgiften blir rätt, men tänker jag rätt gällande uppgiften?

Jag vet inte hur man förväntas göra i Matte 3, men i Matte 4 står om polynomdivision med liggande stolen: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/polynomekvationer-av-hogre-grad

Om du inte vill använda polynomdivision kan du istället gå bakvägen och ansätta (gissa) en kvot.

I din uppgift vet du att kvoten ska kunna skrivas som ett polynom av grad 1. Kalla detta polynom för $ax+b$ . Nu gäller det bara att bestämma $a$ och $b$ så är du klar.

Följande samband gäller:

$\frac{6x^2+44x+48}{6x+8}=ax+b$

Multiplicera bägge sidor med vänsterledets nämnare $6x+8$ och förenkla:

$6x^2+44x+48=(ax+b)(6x+8)$

Multiplicera ihop högerledet och samla termer av lika grad:

$6x^2+44x+48=6ax^2+(8a+6b)x+8b$

För att dessa två polynom ska vara identiska för alla giltiga värden på x så måste det gälla att koefficienterna är lika, dvs

$6=6a$

$44=8a+6b$

$48=8b$

Detta ger direkt att $a=1$ och $b=6$ .

Kvoten är alltså $x+6$ .

I det här fallet (andragradspolynom delat med förstagradspolynom) kan man göra så här också: man tar reda på när täljaren är noll (säg när x = a och x = b) genom att lösa andragradsekvationen med pq-metoden. Då kan man faktorisera den som (x-a)(x-b) gånger nån konstant. Sedan kan man se nästan direkt att en av faktorerna är proportionell mot nämnaren.

Det kanske är det systematiska sätt som funkar i Matte 3.

Tack för alla svar! :)

Svara

Visa senaste svar