Förenkla polynom

Den sista parentesen är knepig men fungerar som andra parenteser
$$\begin{gathered} (a+b+c)(a+b+c)=\hspace{0.17em}{a}^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2= \\ =a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \end{gathered}$$

Lite småknepigt men jag tror att du fattar, det har ju gått bra på den första biten. 
Det börjar med -($k^2$ ....)
Kom ihåg 2 saker: 
1. dina termer är några som har minustecken. 
2. att du ska ta minus dettta dvs. -(k2 ....) som jag började. 
Lycka till!

Kom ihåg distributiva lagen: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd. Samma princip, dvs "varje term i första parentesen multipliceras med varje term i andra" gäller oavsett hur många termer som parenteserna innehåller. Så den sista parentesen kan du utveckla genom:

$(k-2t^2-1)^2 = (k-2t^2-1)(k-2t^2-1) = k^2 - k2t^2 - k - 2t^2k ...$

Det blir många termer att hålla reda på, men det är en nyttig backup-plan att ha med sig. Parentespar går alltid att utveckla på det sättet.

Här finns dock en genväg att hitta: Notera att uttrycket $k-2t^2$ förekommer på två ställen. Kanske kan dessa ta ut varandra? Isåfall kan det bespara en del beräkningar. Prova t.ex. att döpa om det, till $z$ eller något. Då ser uttrycket ut så här:

$(2t)^2 + z^2 - (z-1)^2$

Detta är lite enklare att hantera, men går ändå att förenkla. Efter det kan man byta tillbaka z mot vad det "egentligen" betyder.

Ah, det finns en annan genväg att hitta här: $(k-2t^2)^2 - (k-2t^2-1)^2$ är en kvadrat minus en annan kvadrat. Det har du ju en regel för!

Nu har du olika tips på hur du kan lösa detta. 
Återkom om du har frågor! 

Jag är nyfiken på genvägen som du pratar om #skaft. Har inte lärt mig den, eller så har jag inte förstått någon av de regler jag lärt mig i boken.

Är det jag tänker att det borde finnas ett enkelt sätt.

Jag nämnde två olika genvägar, vilken menar du?

Eftersom uppgiften kommer precis när du lärt dig kvadrerings- och konjugatreglerna, tänker jag att den avsedda metoden är att faktorisera med hjälp av konjugatregeln, som jag hintade om i mitt andra inlägg. En kvadrat minus en annan: $a^2-b^2$ kan faktoriseras till $(a+b)(a-b)$. I din uppgift är det som kvadreras lite krångligare än bara ett "a" eller "b", men samma regel gäller. Det är fortfarande en kvadrat minus en annan.

Det första tipset jag skrev om är bara ett namnbyte. Det är inte en regel eller så, men det är ett knep jag ofta använder själv för att "avkrångla" uttryck. När ett uttryck börjar bli snårigt av att en viss del av uttrycket återkommer på flera ställen, då kan det hjälpa att döpa om den delen mot bara $z$ eller någon annan, valfri variabel. Det kan förhindra slarvfel, och gör saker lite mer överblickbara. Ibland, som i det här fallet, kan man då också enklare se saker som tar ut varandra, vilket förstås förenklar situationen.

Skaft skrev:

Jag nämnde två olika genvägar, vilken menar du?

Eftersom uppgiften kommer precis när du lärt dig kvadrerings- och konjugatreglerna, tänker jag att den avsedda metoden är att faktorisera med hjälp av konjugatregeln, som jag hintade om i mitt andra inlägg. En kvadrat minus en annan: $a^2-b^2$ kan faktoriseras till $(a+b)(a-b)$. I din uppgift är det som kvadreras lite krångligare än bara ett "a" eller "b", men samma regel gäller. Det är fortfarande en kvadrat minus en annan.

Det första tipset jag skrev om är bara ett namnbyte. Det är inte en regel eller så, men det är ett knep jag ofta använder själv för att "avkrångla" uttryck. När ett uttryck börjar bli snårigt av att en viss del av uttrycket återkommer på flera ställen, då kan det hjälpa att döpa om den delen mot bara $z$ eller någon annan, valfri variabel. Det kan förhindra slarvfel, och gör saker lite mer överblickbara. Ibland, som i det här fallet, kan man då också enklare se saker som tar ut varandra, vilket förstås förenklar situationen.

Jag menade den andra genvägen du nämnde, men det kanske är matte 3?

Först föreslog jag ett namnbyte. Idén "byt komplicerad grej A mot enkel grej B som betyder samma sak" tillhör ingen specifik mattekurs.

Sedan föreslog jag konjugatregeln, och den ingår ju i högsta grad i kurs 2. Konjugatregeln säger att om du har någonting upphöjt till 2, minus något annat upphöjt till 2 (dvs $a^2 - b^2$) då kan du skriva om det som en produkt: (a+b)(a-b).

I ditt uttryck finns $(k-2t^2)^2 - (k-2t^2-1)^2$, och det är ju "någonting" upphöjt till 2, minus "något annat" upphöjt till 2, eller hur? Så vi kan skriva om det som en produkt, där vi först adderar sakerna som höjts till 2, och multiplicerar med differensen mellan dem:

$((k-2t^2)+(k-2t^2-1))((k-2t^2)-(k-2t^2-1))$

Det ser krångligt ut, men om du börjar förenkla andra halvan tror jag du märker att det snabbt blir enklare.