Förenkla logaritm

Hej, har sökt runt men inte hittat hur man beräknar en sånhär logaritm:

$\log_{x} (Y)$ .

Det är en uppgift jag haft svårt med och behöver bara få en boost på hur det var man räknade ut dessa!

Tack!

$y = e^{\ln (y)} x = e^{\ln (x)} y = x^{\log_{x} (y)} = (e^{\ln (x)})^{\log_{x} (y)} = e^{\ln (x) * \log_{x} (y)} \ln (y) = \ln (x) * \log_{x} (y) \log_{x} (y) = \ln (y) / \ln (x)$

första och andra steget: verifiera genom att ta naturliga logaritmen av vänsterledet. Tredje ledet: verifiera första likheten genom att ta logaritmen med din bas x, sen stoppa in andra raden och använd att exponent av exponent blir exponent av produkten. Fjärde: ta naturliga logaritmen av tredje radens första och sista led. Flytta om och lös ut.

Hoppas att det blev begripligt (och rätt -- kolla gärna)

PeBo skrev :
$y = e^{\ln (y)} x = e^{\ln (x)} y = x^{\log_{x} (y)} = (e^{\ln (x)})^{\log_{x} (y)} = e^{\ln (x) * \log_{x} (y)} \ln (y) = \ln (x) * \log_{x} (y) \log_{x} (y) = \ln (y) / \ln (x)$
första och andra steget: verifiera genom att ta naturliga logaritmen av vänsterledet. Tredje ledet: verifiera första likheten genom att ta logaritmen med din bas x, sen stoppa in andra raden och använd att exponent av exponent blir exponent av produkten. Fjärde: ta naturliga logaritmen av tredje radens första och sista led. Flytta om och lös ut.
Hoppas att det blev begripligt (och rätt -- kolla gärna)

Så alltså om jag ska räkna ut med hjälp av den sista formeln du skrev så blir det:

Log4(16)=ln(16)/ln(4) (Log4, 4:an är under log)

Är det rätt?

Ja, du kan alltid skriva om som en kvot av två logaritmer med valfri bas (oftast e eller 10).

Annars kan du tänka att

log_4(16)

är det tal som 4 ska upphöjas till för att få värdet 16, d.v.s lösningen till

4^x = 16

så x = 2.

Dr. G skrev :
Ja, du kan alltid skriva om som en kvot av två logaritmer med valfri bas (oftast e eller 10).
Annars kan du tänka att
log_4(16)
är det tal som 4 ska upphöjas till för att få värdet 16, d.v.s lösningen till
4^x = 16
så x = 2.

Aha, okej men så sättet jag gjorde var fel?

förstod ditt exempel och den såg bättre ut då den förklarar exakt vad 4 ska upphöjas till för att få 16. Men min metod, vad visar den egentligen? Den svarar inte på frågan va?

Jo, slår du in de värdena på en räknare får du fram svaret 2. Du skulle också kunna förenkla till $\frac{\ln 16}{\ln 4} = \frac{\ln 4^2}{\ln 4} = \frac{2 \ln 4}{\ln 4} = 2$ .

Om jag förstått att det var så enkla siffror du hade så hade jag kanske inte krånglat till det så :)

Du har inte gjort fel, men det finns mer än ett sätt att göra det här (även om alla sätt är lika -- logaritmen är matematiken som sker bland exponenterna). Jag tycker att för dina enkla siffror är Dr. G rätt ute med sin enklare metod.

Den metod jag visade kan man använda även om siffrorna inte är så enkla, och det är i princip inte fel att använda den, men det kan upplevas som ett onödigt krångligt sätt. Jag är alltid tvungen att härleda den där formeln när jag ska använda den, och det är lite nyttigt att ha sett (läs "gjort") härledningen någon gång så man vet att den finns och kan plocka fram den.

I ditt fall är det dessutom bra att tänka på det som att (eftersom logaritmen av en produkt är summan av logaritmen av faktorerna, vilket man lätt inser genom att se vad som händer med exponenter) $\log_{4} (4^{n}) = \log_{4} (4 * . . . * 4) = \log_{4} (4) + . . . + \log_{4} (4) = n * \log_{4} (4) = n$

Men även att $\ln (4^{n}) = \ln (4 * . . . * 4) = \ln (4) + . . . + \ln (4) = n * \ln (4) = \log_{4} (4^{n}) * \ln (4)$ vilket är ett annat sätt att se samma sak.

Lessen om jag rörde till det, men det där är oerhört användbara verktyg, provkör dom gärna och säg till det är något som är oklart i det jag försöker visa.

Svara

Visa senaste svar