Förenkla ln (horror och rädsla!)

Det är med rädsla och horror att jag märkte att jag hade enorm kunskap luckor med logaritmer. Det är nämligen flera övningar som jag klarade inte under repetionsuppgifter.

Till ex:

Förenkla $\ln [x (\sqrt{1 + e^{x}} - \sqrt{e^{x}})] + \ln (\sqrt{1 + e^{- x}} + 1)$ tills det blir $- \frac{x}{2} + \ln (x)$ , eller nåt sånt.

Jag har försökt själv men det är verkligen inte någon i full bruk av sina sinne vill se, typ såhär:

$l n ([x (\sqrt{1 + e^{x}} - \sqrt{e^{x}})] \cdot (\sqrt{1 + e^{- x}} + 1)) = \ln (x \sqrt{1 + e^{x}} \sqrt{1 + e^{- x}} + x \sqrt{1 + e^{x}} - x \sqrt{e^{x}} \sqrt{1 + e^{- x}} - x \sqrt{e^{x}}) = \ln x (x \sqrt{2 + e^{- x} + e^{x}} - x \sqrt{e^{x}})$

Två tips:

Använd $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$ så mycket som möjligt, åt båda hållen (men undvik att multiplicera ihop de stora uttrycken utan att se varför, det blir lätt fel och stökigt)
Använd $1+e^x=e^x(1+e^{-x})$

Som haraldreji sa använd dig av

$\ln (a * b) = \ln (a) + \ln (b) o c h \sqrt{a b} = \sqrt{a} * \sqrt{b} o c h a^{2} - b^{2} = (a - b) * (a + b)$

Okej.

Nu har jag haft kaffe och stuff, och förenklar till något hyfsat att titta på (positiva sidan), men fortfarande fel (... den negativa sidan, tyvärr).

$\ln [x (\sqrt{1 + e^{x}} - \sqrt{e^{x}})] + \ln (\sqrt{1 + e^{- x}} + 1) \Leftrightarrow \ln [\frac{(x \sqrt{1 + e^{x}} - x \sqrt{e^{x}}) \cdot (x \sqrt{1 + e^{x}} + x \sqrt{e^{x}})}{(x \sqrt{1 + e^{x}} - x \sqrt{e^{x}})}] + \ln [\frac{(\sqrt{1 + e^{- x}} + 1) \cdot (\sqrt{1 + e^{- x}} - 1)}{(\sqrt{1 + e^{x}} + 1)}] \Leftrightarrow \ln [\frac{(x^{2} (1 + e^{x}) - x^{2} e^{x})}{(x \sqrt{1 + e^{x}} - x \sqrt{e^{x}})}] + \ln [\frac{((1 + e^{- x}) - 1)}{(\sqrt{1 + e^{x}} + 1)}] \Leftrightarrow \ln [\frac{x}{(\sqrt{1 + e^{x}} - \sqrt{e^{x}})}] + \ln [\frac{e^{- x} \cdot \sqrt{e^{x}}}{(\sqrt{1 + e^{- x}} + 1) \cdot \sqrt{e^{x}}}] \Leftrightarrow \ln [\frac{x}{(\sqrt{1 + e^{x}} - \sqrt{e^{x}})}] + \ln [\frac{e^{- \frac{1}{2} x}}{(\sqrt{e^{x} + 1} + \sqrt{e^{x}})}] \Leftrightarrow \ln (\frac{x}{(\sqrt{1 + e^{x}} - \sqrt{e^{x}})} \cdot \frac{e^{- \frac{1}{2} x}}{(\sqrt{e^{x} + 1} + \sqrt{e^{x}})}) \Leftrightarrow \ln \frac{x}{\sqrt{e^{x}}} \Leftrightarrow \ln x - \ln \sqrt{e^{x}}$

Börja på det sättet som haraldfreij föreslog - att använda att log a + log b = log ab.

Hej :)

Förstådde inte att haraldfreij menade just i denna ordning. Det försökte jag igår, men jag måste multiplicera parenteser omeddelbart.

Vad är det som jag gjorde fel?

Ah. Jag hittade slatvet!

Tack för hjälpen. Den var i nästsista parentes :)

Svara

Visa senaste svar