[Kluring] Förenkla en produkt av n st 3-terms-polynom

Notera specialfallet

$(1 + x + x^2)(1 + x^3 + x^{6})= 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8$

Bevisa att

$(1 + x + x^2)(1 + x^3 + x^{6})(1 + x^9 + x^{18})\cdots (1 + x^{3^{n - 1}} + x^{2 \cdot 3^{n - 1}}) = 1 + x + x^2 + ... + x^{3^{n} - 1}$

gäller för alla heltal $n$ .

Är det inte bara att... ?

Laguna skrev:
Är det inte bara att... ?

Att vad? (Behöver inte vara så svår beroende på vad man kan)

SeriousCephalopod skrev:
Laguna skrev:
Är det inte bara att... ?
Att vad? (Behöver inte vara så svår beroende på vad man kan)

Jag behöver nog penna och papper i alla fall.

Induktion verkar vara ett enkelt sätt att visa det på. Vi har redan visat det för ett basfall n=1(och n=0 är trivialt). Antag nu att det gäller för något n och visa att det gäller för n+1. Produkten av alla parenteser utom den sista blir då enligt induktionsantagandet $1 + x + . . . + x^{3^{n} - 1}$ . Nu återstår endast att multiplicera detta med $(1 + x^{3^{n}} + x^{2 * 3^{n} - 1})$

Eftersom termerna skiljer sig åt med en exponent $3^{n}$ fås efter distribution helt enkelt $1 + x + x^{2} + . . . + x^{3 * 3^{n} - 1}$

vilket är det som ges av insättning av n+1 i högerled i formeln som skulle visas. Enligt induktionsprincipen gäller då formeln för alla positiva heltal n. (Osäker på vad det innebär för n att vara negativt)

parveln skrev:
Induktion verkar vara ett enkelt sätt att visa det på. Vi har redan visat det för ett basfall n=1(och n=0 är trivialt). Antag nu att det gäller för något n och visa att det gäller för n+1. Produkten av alla parenteser utom den sista blir då enligt induktionsantagandet $1 + x + . . . + x^{3^{n} - 1}$ . Nu återstår endast att multiplicera detta med $(1 + x^{3^{n}} + x^{2 * 3^{n} - 1})$
Eftersom termerna skiljer sig åt med en exponent $3^{n}$ fås efter distribution helt enkelt $1 + x + x^{2} + . . . + x^{3 * 3^{n} - 1}$
vilket är det som ges av insättning av n+1 i högerled i formeln som skulle visas. Enligt induktionsprincipen gäller då formeln för alla positiva heltal n. (Osäker på vad det innebär för n att vara negativt)

Det fungerar. Och menade bara positiva heltal men för sent för att redigera nu. Man kan tolka det för de negativa också dock om man vill.

Jag skulle dock tycka att det vore bra med någon utvecklad motivation för hur man kan vara säker på att distribution verkligen ger just den sekvensen av monom varje gång.

Om identiteten stämmer är det såklart så men jag kunde lurats också och det hela bryter ner vid någon punkt såsom att uppdelningen av cirkeln is sektioner ser ut att vara 2-potenser 1,2,4,8,16,... men sen kommer 31.

Det räcker med att betrakta största och minsta termen som bildas från att var och en av de tre termerna i parentesen multipliceras. 1an ger upphov till minsta 1, största $x^{3^{n} - 1}$ . Andra termen ger minsta term $x^{3^{n}}$ och största term $x^{2 * 3^{n} - 1}$ . Som precis "matchar det vi fick från ettan. Det blir precis samma med den sista termen.

$1 + x + x^{2} = \frac{x^{3} - 1}{x - 1} 1 + x^{3} + x^{6} = \frac{x^{9} - 1}{x^{3} - 1} . . . 1 + x^{3^{n - 1}} + x^{2 \times 3^{n - 1}} = \frac{x^{3^{n}} - 1}{x^{3^{n - 1}} - 1}$

Man kan som ovan illustreras skriva faktorerna i VL som varsin kvot. Deras produkt blir därför teleskoperande och ger

$= \frac{x^{3^{n}} - 1}{x - 1} = 1 + x + x^{2} + . . . + x^{3^{n} - 1}$

Svara

Visa senaste svar