Förenkla bråk med två obekanta

Jag ska förenkla följande uttryck och behöver lite hjälp på traven:

$\frac{x^{2} + 8 x y + 7 y^{2}}{x^{2} + 5 x y + 4 y^{2}}$ .

Vad kan jag bryta ut? Hur kan jag faktorisera?

Jag ser det som ett "problem" att det står $7 y^{2}$ i täljaren, då 7 är ett udda tal, ingen kvadrat osv...

Kan det vara så att det blir fler än 2 faktorer i täljaren eller nämnaren (eller båda)?

Skulle vara jättebra att få hjälp med något generellt sätt att tänka kring sådana här förenklingar.

När det är två obekanta är det inte lätt att se rötterna eller att göra en polynomdivision eller lösa en andragradsekvation för att komma vidare.

Tar tacksamt emot tips på denna uppgift!

7 är inget problem, för t.ex. 7*1 är också en faktorisering.

Det man kan hoppas på är att täljaren kan faktoriseras i två faktorer, och nämnaren också, och att de har någon faktor gemensam.

En mycket snarlik uppgift vore att förenkla (x²+8x+7)/(x²+5x+4). Kan du lösa den?

Ja, det kan jag. Jag ser att -1 är en rot till polynomet $x^{2} + 8 x + 7$ i täljaren och då är (x+1) en faktor.

Samma faktor hittar jag i nämnaren.

Då är det bara att dela med (x+1) i både täljare och nämnare för att kunna faktorisera och förenkla.

Jag använder mig då av polynomdivision.

Faktoriseringen blir $\frac{(x + 1) (x + 7)}{(x + 1) (x + 4}$ och förenklingen blir $\frac{x + 7}{x + 4} .$

Nu blev det lättare att lösa $\frac{x^{2} + 8 x y + 7 y^{2}}{x^{2} + 5 x y + 4 y^{2}}$ genom att göra på liknande sätt.

Faktorieseingen blir $\frac{(x + y) (x + 7 y)}{(x + y) (x + 4 y)}$ och förenklingen får vi genom att förkorta i täljare och nämnare med (x+y) så det blir $\frac{x + 7 y}{x + 4 y}$ kvar.

Tack Laguna för hjälpen!

Svara