Förenkla 3^40 (mod 7)

Det gäller att $a·b (\mathrm{mod} n)\equiv a(\mathrm{mod} n)·b(\mathrm{mod} n)$. Det de gjort här i lösningen är att "applicera" (mod 7) på faktorn $8^6$. Där använder de sedan sambandet att $a^b (\mathrm{mod} n)\equiv (a {(\mathrm{mod} n))}^b$. :)

Jag hade räknat på ett litet annat sätt än facit:

$3 \equiv 3 \mod 7$

$3^2 \equiv 2 \mod 7$

$3^3 \equiv -1 \mod 7$

Vi har $3^{40} = 3^{39}\cdot 3^1 = 3^{13 \cdot 3}\cdot 3^1$

vilket slutligen ger:
$(-1)\cdot 3 \mod 7 \equiv -3$

Eftersom vi inte är så intresserade av en negativ rest (notera att detta är ett korrekt svar!) så kan vi lägga till 7 vilket ger att $3^{40} \equiv 4 \mod 7$

Smutstvätt skrev:

Det gäller att $a·b (\mathrm{mod} n)\equiv a(\mathrm{mod} n)·b(\mathrm{mod} n)$. Det de gjort här i lösningen är att "applicera" (mod 7) på faktorn $8^6$. Där använder de sedan sambandet att $a^b (\mathrm{mod} n)\equiv (a {(\mathrm{mod} n))}^b$. :)

Tack för en jätteklar förklaring! Jag undra bara är det verkligen nödvändigt att beräkna 8^6 (mod 7) genom att använda dendära formeln som du visade? Jag tänker att man kan ju lika gärna bara lösa: 8^6 (mod 7) direkt, istället för att använda olika formler. Jag undrar bara vad det finns för anledning att man ville använda formeln här? 

Dracaena skrev:

Jag hade räknat på ett litet annat sätt än facit:

$3 \equiv 3 \mod 7$

$3^2 \equiv 2 \mod 7$

$3^3 \equiv -1 \mod 7$

Vi har $3^{40} = 3^{39}\cdot 3^1 = 3^{13 \cdot 3}\cdot 3^1$

vilket slutligen ger:
$(-1)\cdot 3 \mod 7 \equiv -3$

Eftersom vi inte är så intresserade av en negativ rest (notera att detta är ett korrekt svar!) så kan vi lägga till 7 vilket ger att $3^{40} \equiv 4 \mod 7$

Hur kom du fram till att 3 ≡ 3 mod 7   ->  3^2 ≡ 2 mod 7 ? osv...

Sedan vid slutet hur kom du fram till att 3^(13 * 3) * 3^1  ger: (-1) * 3 mod 7 ≡ -3

Jag förstår inte riktigt metoden eftersom jag inte heller har lärt mig hur man arbetar med negativa rester

dddanieel skrev:

Smutstvätt skrev:

Det gäller att $a·b (\mathrm{mod} n)\equiv a(\mathrm{mod} n)·b(\mathrm{mod} n)$. Det de gjort här i lösningen är att "applicera" (mod 7) på faktorn $8^6$. Där använder de sedan sambandet att $a^b (\mathrm{mod} n)\equiv (a {(\mathrm{mod} n))}^b$. :)

Tack för en jätteklar förklaring! Jag undra bara är det verkligen nödvändigt att beräkna 8^6 (mod 7) genom att använda dendära formeln som du visade? Jag tänker att man kan ju lika gärna bara lösa: 8^6 (mod 7) direkt, istället för att använda olika formler. Jag undrar bara vad det finns för anledning att man ville använda formeln här? 

Vi kan slå in 8^6 på en miniräknare och kontrollera resten vid division med sju, det stämmer. Men det är bra att använda reglerna ofta, då det inte är riktigt lika lätt att göra samma sak med 8⁶⁵ eller 9¹⁷. :)

Smutstvätt skrev:

dddanieel skrev:

Visa föregående citat

Smutstvätt skrev:

Det gäller att $a·b (\mathrm{mod} n)\equiv a(\mathrm{mod} n)·b(\mathrm{mod} n)$. Det de gjort här i lösningen är att "applicera" (mod 7) på faktorn $8^6$. Där använder de sedan sambandet att $a^b (\mathrm{mod} n)\equiv (a {(\mathrm{mod} n))}^b$. :)

Tack för en jätteklar förklaring! Jag undra bara är det verkligen nödvändigt att beräkna 8^6 (mod 7) genom att använda dendära formeln som du visade? Jag tänker att man kan ju lika gärna bara lösa: 8^6 (mod 7) direkt, istället för att använda olika formler. Jag undrar bara vad det finns för anledning att man ville använda formeln här? 

 

Vi kan slå in 8^6 på en miniräknare och kontrollera resten vid division med sju, det stämmer. Men det är bra att använda reglerna ofta, då det inte är riktigt lika lätt att göra samma sak med 8⁶⁵ eller 9¹⁷. :)

" då det inte är riktigt lika lätt att göra samma sak med 865 eller 917. :)"

Juste, det var ju därför jag fastnade på uppgiften över huvud taget. Det fanns andra deluppgifter där man skulle t.ex förenkla 2^30 (mod 5), då jag helt enkelt bara dividerade 2^30 med 5, och skrev in resten, vilket blev rätt svar. Men eftersom 3^40 blev alldeles för stort så behövde jag istället använda mig av dessa formler.....

Även 2³⁰ är lite väl stort för att köra miniräknartricket på, även om det går. Syftet med frågorna är också att du ska visa att du visa att du kan använda dig av moduloregler för att hantera stora tal. :)

Smutstvätt skrev:

Även 2³⁰ är lite väl stort för att köra miniräknartricket på, även om det går. Syftet med frågorna är också att du ska visa att du visa att du kan använda dig av moduloregler för att hantera stora tal. :)

 

2^30 blev ett tal "litet" nog så att räknaren kunda visa fram alla tal utan att behöva använda tio potenser. 

 

"Syftet med frågorna är också att du ska visa att du visa att du kan använda dig av moduloregler för att hantera stora tal. :)" 

Plot twist: jag kunde inte dem 😭

Jo, men som lärare skulle nog 2^30 ses som för stort för att köra miniräknartricket. Själv skulle jag nog dra gränsen någonstans mellan 10^5 och 10^6. :)

Plot twist: jag kunde inte dem 😭

Det är därför du övar! :)