Fördjupningsuppgift inom differentialekvationer
Hej!
Den fördjupningsuppgiften jag har valt att lösa är tid upp, tid ner från matte origo 5. Uppgiften lyder:
Om du kastar en boll rakt upp i luften, så tar det en viss tid för bollen att nå sin högsta höjd och en viss tid för bollen att sedan återvända till marken. Men vilket tar längst tid, färden upp eller färden ned? Eller tar färden upp lika långt tid som fallet ned?
Vi har kommit fram till en differentialekvation av andra ordningen som beskriver rörelsen hos en boll som kastas upp i luften: h''(t) + k/m*h'(t) = -g där h(t) är bollens höjd över marken vid tiden t s. Och med hjälp av detta ska jag kunna lösa differentialekvationen algebraiskt. Inom vår kurs har vi endast gått igenom hur man löser differentialekvationer av andra ordningen med hjälp av wolframalpha och är anledning till varför jag har svårigheter med att lösa uppgiften algebraiskt. Hursomhelst, frågorna jag har svårigheter att lösa är dessa:
- Formulera själv lämpliga begynnelsevillkor och värden på de ingående konstanterna. Lös därefter differentialekvationen och beräkna den tid det tar för bollen att nå sin högsta punkt respektive den tid det tar för bollen att från den högsta punkten åter nå sin utgångspunkt.
- Värdera din lösning noga. Hur påverkas resultatet av bollens utgångshastighet och värdena på konstanterna k och m?
Tacksam för svar!
Det första du bör göra är att försöka ta fram en partikulärlösning, vilket brukar gå utan för stora problem.
Det kvarvarande steget blir då att lösa motsvarande homogena differentialekvation. I fallet av linjära homogena differentialekvationer av andra slaget brukar man kunna lösa dem med en ansats av typen . Dock kan jag tycka att det är ganska elakt att ge som uppgift att lösa differentialekvationer av andra ordningen om det inte gåtts igenom.
