Fördelningsfunktion

Låt $X$ vara en slumpvariabel.

Fördelningsfunktionen $F(x)$ är helt enkelt den funktion, sådan att:

$P(X\le x)=F(x)$

Tänk på det som integralen av täthetsfunktionen. Fördelningsfunktionen berättar sannolikheten att det som man mäter ligger till vänster, så den börjar alltid på 0 och växer till 1.

förstår jag rätt när jag tänker såhär:

Täthetsfunktionen beskriver arean av sannlikhetsmassan mellan två specifika punkter a och b
medans Fördelningsfunktionen ger arean från och med minus-oändligheten till önskad punkt x ?

Fördelningsfunktionen håller jag med om. Täthetsfunkttionen beskriver just täthet/densitet. Det betyder inte så mycket i en punkt utan blir intressant när du har ett intervall att räkna ihop "vikten" av.

Nej, täthetsfunktionen är själva värdet i en viss punkt.

Fördelningsfunktionen ger arean under täthetsfunktionen, från $-\infty$ fram till det x-värde man sätter in. Med en normalfördelning som exempel:

I bilden ovan kan man se hela täthetsfunktionen (nåja, den är klippt i ändarna, men typ), men bara ett enda värde från fördelningsfunktionen (storleken av den ritade arean är vad F räknar ut när man sätter in x-värdet a). Man kan också skissa fördelningsfunktionen, för alla möjliga x-värden man kan sätta in. Sätter man in låga x blir arean nära 0 (ingen area alls), sätter man in höga x blir den nära 1 (hela arean under kurvan). Däremellan ser det ut som ett lite skevt S (för just normalfördelningen), vilket kan ses här.

Tacksam för svar, men förstår fortfarande inte.

En uppgift i min bok säger såhär:

Beräkna sannolikhet med täthetsfunktion

slumpvariabeln X har täthetsfunktionen 
f(x) $\frac{x^2}{9}$dx, $0\le x\le 3$ 
0, i övriga fall.

Bestäm sannolikheten för $1\le x\le 2$


Här räknar jag ju ut en sannolikhet mellan 1 och 2 genom täthetsfunktionen. 
Jag får fram ca 25,9%  Dvs att sannolikheten att min slumpvariabel x är mellan 1 och 2 är 25,9%


Vad fyller då fördelningsfunktionen för "funktion" dem räknar väl ändå ut samma sak, dvs sannolikheten att slumpvariabeln x hamnar inom ett visst intervall.  Ska det vara så obegripligt ? Jag har inte fastnat i något inom matematiken under så här lång tid

Du måste börja med att beräkna arean från 0 till 3 och multiplicera den med nånting så att sannolikheten har värdet 1. Kommer du vidare härifrån?

Smaragdalena skrev:

Du måste börja med att beräkna arean från 0 till 3 och multiplicera den med nånting så att sannolikheten har värdet 1. Kommer du vidare härifrån?

du läser uppenbarligen inte vad jag skriver,

fattiglapp skrev:

Tacksam för svar, men förstår fortfarande inte.

En uppgift i min bok säger såhär:

Beräkna sannolikhet med täthetsfunktion

slumpvariabeln X har täthetsfunktionen 
f(x) $\frac{x^2}{9}$dx, $0\le x\le 3$ 
0, i övriga fall.

Bestäm sannolikheten för $1\le x\le 2$


Här räknar jag ju ut en sannolikhet mellan 1 och 2 genom täthetsfunktionen. 
Jag får fram ca 25,9%  Dvs att sannolikheten att min slumpvariabel x är mellan 1 och 2 är 25,9%


Vad fyller då fördelningsfunktionen för "funktion" dem räknar väl ändå ut samma sak, dvs sannolikheten att slumpvariabeln x hamnar inom ett visst intervall.  Ska det vara så obegripligt ? Jag har inte fastnat i något inom matematiken under så här lång tid

Hur fick du 25,9%? Jag tycker du måste ha integrerat x²/9 och fått x³/27 och satt in ändvärdena 2 och 1, så det blir 8/27 - 1/27 = 7/27. x³/27 är fördelningsfunktionen.

Laguna skrev:

fattiglapp skrev:

Tacksam för svar, men förstår fortfarande inte.

En uppgift i min bok säger såhär:

Beräkna sannolikhet med täthetsfunktion

slumpvariabeln X har täthetsfunktionen 
f(x) $\frac{x^2}{9}$dx, $0\le x\le 3$ 
0, i övriga fall.

Bestäm sannolikheten för $1\le x\le 2$


Här räknar jag ju ut en sannolikhet mellan 1 och 2 genom täthetsfunktionen. 
Jag får fram ca 25,9%  Dvs att sannolikheten att min slumpvariabel x är mellan 1 och 2 är 25,9%


Vad fyller då fördelningsfunktionen för "funktion" dem räknar väl ändå ut samma sak, dvs sannolikheten att slumpvariabeln x hamnar inom ett visst intervall.  Ska det vara så obegripligt ? Jag har inte fastnat i något inom matematiken under så här lång tid

Hur fick du 25,9%? Jag tycker du måste ha integrerat x²/9 och fått x³/27 och satt in ändvärdena 2 och 1, så det blir 8/27 - 1/27 = 7/27. x³/27 är fördelningsfunktionen.

På exakt samma sätt som du räknade ut det fick även jag de ttill 7/27 dvs ca 0,259 dvs 25,9%

Då så, då kan man väl säga att fördelningsfunktionen är praktisk att ha?

Laguna skrev:

Då så, då kan man väl säga att fördelningsfunktionen är praktisk att ha?

Så fördelningsfunktionen ÄR täthetsfunktionens primitiva funktion?

Inte precis. Primitivfunktionen har en C konstant som är okänd, men fördelningsfunktionen är bestämd. 

(Börjar med 0)

fattiglapp skrev:

Laguna skrev:

Då så, då kan man väl säga att fördelningsfunktionen är praktisk att ha?

Så fördelningsfunktionen ÄR täthetsfunktionens primitiva funktion?

Det omvända gäller:

$f(x)=F'(x)$

fattiglapp skrev:

Smaragdalena skrev:

Du måste börja med att beräkna arean från 0 till 3 och multiplicera den med nånting så att sannolikheten har värdet 1. Kommer du vidare härifrån?

du läser uppenbarligen inte vad jag skriver,

Du behöver visa att arean under kurvan är 1 - det är inte alltid uppgiften är så snäll att detta redan är gjort.

Smaragdalena skrev:

fattiglapp skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Du måste börja med att beräkna arean från 0 till 3 och multiplicera den med nånting så att sannolikheten har värdet 1. Kommer du vidare härifrån?

du läser uppenbarligen inte vad jag skriver,

Du behöver visa att arean under kurvan är 1 - det är inte alltid uppgiften är så snäll att detta redan är gjort.

Då hoppas jag inte att boken kallar det täthetsfunktion 😳

Ah, det tänkte jag inte på. Du har rätt, man borde inte kalla det täthetsfunktion om det inte stämmer.