Fördelning för linjära kombinationer av normalfördelade oberoende variabler

För de oberoende variablerna X_1~N(2,4), X_2~N(0,9), X_3~N(-4,100), vill jag hitta fördelningen för Y=(X_1+2X_2-5X_3)/3. Jag tänker att fördelningen bör vara

$N (\frac{2 + 2 \times 0 - 5 (- 4)}{3}, (\frac{1}{3})^{2} \times 4 + (\frac{2}{3})^{2} \times 9 + (\frac{- 5}{3})^{2} \times 100)$

Är jag helt ute och cyklar?

Första halvan ser bra ut.

Via att att väntevärdet är en linjär funktion

$E[\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2] = \alpha_1 E[X_1] + \alpha_2 E[X_2]$

då kan du veta med absolut säkerhet att väntevärdet hos den resulterande stokastiska variabeln måste vara

$\mu = \frac{\mu_1 + 2\mu_2 - 5\mu_2}{3} = \frac{2 + 2 \cdot 0 - 5(-4)}{3}$

Liknande egenskaper för variansen

$V[X_1 + X_2] = V[X_1] + V[X_2], \quad V[\alpha X] = \alpha^2 V[X]$

säger också att variansen för den resulterande stokastiska variabeln ska vara det du sagt.

Så du har cyklat åt rätt håll med att bestämma den stokastiska variabelns väntevärde och varians.

Det enda som är kruxet konceptuellt är hur du kan veta att fördelningen av en summa av normalfördelade stokastiska variabler med olika varianser verkligen är normalfördelad?

Svara