Förbättra mina integral-kunskaper

en integral beräknar inte riktigt arean, ifall grafen är under x-axeln kommer "arean" vara negativ

Kallaskull skrev:

en integral beräknar inte riktigt arean, ifall grafen är under x-axeln kommer "arean" vara negativ

Så, om en integral inte nödvändigtvis beskriver en area, vad är det då som min integral beskriver?

Arean under en graf är ett sätt att visualisera en integral (annars hade det varit väldigt svårt att förklara hur den räknas ut), men det är inte det som är definitionen av en integral. Den liknelsen faller när vi har negativa värden.

Du vet säkert att om man har en v-t-graf (en graf med hastighet på y-axeln, och tid på x-axeln), så kan sträckan tolkas som arean under grafen (integralen). Låt oss nu anta att v-t-grafen ser ut som sinuskurvan i ditt exempel. När hastigheten är negativ åker vi alltså bakåt, och när hastigheten är positiv åker vi framåt. När hastigheten är negativ måste ju också sträckan (integralen) bli negativ (gentemot startpunkten, inte total sträcka som vi färdats). 

Eftersom grafen är symmetrisk har vi åkt exakt lika långt bakåt som framåt, och integralen (sträckan från start) måste alltså vara 0, eftersom vi är tillbaka där vi startade.

Satan-i-Gatan skrev:

Kallaskull skrev:

en integral beräknar inte riktigt arean, ifall grafen är under x-axeln kommer "arean" vara negativ

Så, om en integral inte nödvändigtvis beskriver en area, vad är det då som min integral beskriver?

Baxa denna bild från wikipedia, en integral beskriver vad summan av oändligt många rektanglar(som de på bilden), rektanglarna kan ha negativ area för att det defineras ha höjden f(x) så när din funktion har negativt värde kommer även "arean" av din integral ha negativt värde där

När staplarna är över x-axeln är arean integralen av funktionen f(x)-0.

När staplarna är under x-axeln är arean integralen av funktionen 0-f(x).

viktorzenk skrev:

Arean under en graf är ett sätt att visualisera en integral (annars hade det varit väldigt svårt att förklara hur den räknas ut), men det är inte det som är definitionen av en integral. Den liknelsen faller när vi har negativa värden.

Du vet säkert att om man har en v-t-graf (en graf med hastighet på y-axeln, och tid på x-axeln), så kan sträckan tolkas som arean under grafen (integralen). Låt oss nu anta att v-t-grafen ser ut som sinuskurvan i ditt exempel. När hastigheten är negativ åker vi alltså bakåt, och när hastigheten är positiv åker vi framåt. När hastigheten är negativ måste ju också sträckan (integralen) bli negativ (gentemot startpunkten, inte total sträcka som vi färdats). 

Eftersom grafen är symmetrisk har vi åkt exakt lika långt bakåt som framåt, och integralen (sträckan från start) måste alltså vara 0, eftersom vi är tillbaka där vi startade.

Jag förstår ditt exempel, men när matte 3 kurser använder v-t grafer för att förklara integraler, så använder dom en graf där  sträckan faktiskt kan likställas med grafens area, då kanske dom istället använder en rät linje eller något sånt, inte en sinus graf med negativa värden - (iaf inte så som jag blev introducerad till integraler).

Men, integralen som jag gav, säger du att integralen inte kan tolkas som arean av någonting överhuvudtaget? 
Att det inte är möjligt att tolka den från ett "area" perspektiv?

Att tolka integralen i en v-t-graf som sträcka går alldeles utmärkt även om grafen inte är rät. Det går också att använda den på det sättet med negativa värden, så som jag skrev i mitt förra svar. Det gör man såklart inte i första genomgången, eftersom det blir ytterligare ett komplikationsmoment. 

Men, integralen som jag gav, säger du att integralen inte kan tolkas som arean av någonting överhuvudtaget? 
Att det inte är möjligt att tolka den från ett "area" perspektiv?

Jovisst, det är bara att göra areor under x-axeln negativa :)

Men, integralen som jag gav, säger du att integralen inte kan tolkas som arean av någonting överhuvudtaget? 
Att det inte är möjligt att tolka den från ett "area" perspektiv?

Jovisst, det är bara att göra areor under x-axeln negativa :)

Glöm det gamla exemplet, ta den här integralen istället:
${\int }_{-\pi /2}^{\pi }\sin \left(2x\right)dx$ (samma funktion men andra gränser)

Värdet av den här integralen är = -1. Om vi vill uttrycka det här som en area, så måste vi uttrycka det som en positivt tal, 
= 1. 

Men, min fråga är, om vi båda nu håller med om att vi kan uttrycka det här som en area, vilken area?
Det här är varför jag bad folk som svara att visa med en graf, så att jag kan se vilken area som denna integral beskriver.
Det skulle vara väldigt hjälpsamt. 
Förstår du min fråga?

i

Notera: Värdet av en integral kan vara negativt, medan en area alltid är positiv.

Börja med att rita upp integralen så att man ser integrationsgränser och var funktionens värde är positivt respektive negativt. Lägg upp din bild här.

Smaragdalena skrev:

Börja med att rita upp integralen så att man ser integrationsgränser och var funktionens värde är positivt respektive negativt. Lägg upp din bild här.

Jag är så förvirrad.
Jag har gett både funktionen OCH integrationsgränserna, så nu kan alla rita upp den på Desmos eller annat grafritande program. Det är jag som vill att NI visar vilken area som integralen refererar till.
Är jag helt lost eller vad är det som händer?

Här är frågan som jag vill ha svar på:
Vilken area representerar följande integral?
${\int }_{-\pi /2}^{\pi }\sin \left(2x\right)dx$

Satan-i-Gatan, om du vill ha hjälp med dina uppgifter är det väl på plats att du gör det vi ber dig om? Då kan vi vara säkra på att den bild bild vi tittar på och den bild du tittar på är likadan. Det är bortkastad möda att försöka hjälpa dig, om vi ite vet att du och vi pratar om samma sak. Dessutom bör att ritat alltid vara första steget när man skall beräkna en integral, så det är inget onödigt jag ber dig om.

Så, det som jag nu har postat är grafen + integrationsgränserna.
Jag har ingen aning varför det var så nödvändigt då det tar 1 sekund att rita upp grafen på Desmos.

OMG, nej, nej, nej
den grafen som jag ritade är fel. Integrationsgränserna är fel.

Det här är sjukt frusterande

OK.

Det här är integrationsgränserna och grafen.
Jag vet inte om det var exakt det som du ville ha, men det är allt jag kan ge.


Varför man inte kan snabbt ta upp Desmos och kolla på grafen själv är ... jag vet inte.
Du sa att jag skulle rita upp integralen, jag vet inte hur man "ritar integralen", men såhär ser grafen ut, surprise surprise

Såhär: En integral som bara är ovanför x-axeln kan tolkas som arean under grafen.

En integral som bara är under x-axeln kan tolkas som arean mellan x-axeln och grafen, men värdet blir negativt. 

En integral som är både under och över kan också tolkas med hjälp av areor, och blir då de "positiva" areorna minus de "negativa".

Vilken area representerar följande integral?
${\int }_{-\mathrm{\pi }/2}^{\mathrm{\pi }}\sin \left(2x\right) dx$

Såhär ser grafen ut:

Arean som representerar integralen är den gröna arean (1) minus de två röda areorna (1 vardera). Alltså 1 - 2 = - 1

"Negativa areor" är ett smidigt sätt att illustrera integraler, men rent geometriskt kan ju en area inte vara negativ. Om vi verkligen bara ska prata om rent geometriska areor i koordinatsystemet är den totala arean alltså 1 + 2 = 3. 

Hoppas det hjälpte lite!

viktorzenk skrev:

Såhär: En integral som bara är ovanför x-axeln kan tolkas som arean under grafen.

En integral som bara är under x-axeln kan tolkas som arean mellan x-axeln och grafen, men värdet blir negativt. 

En integral som är både under och över kan också tolkas med hjälp av areor, och blir då de "positiva" areorna minus de "negativa".

Vilken area representerar följande integral?
${\int }_{-\mathrm{\pi }/2}^{\mathrm{\pi }}\sin \left(2x\right) dx$

Såhär ser grafen ut:

Arean som representerar integralen är den gröna arean (1) minus de två röda areorna (1 vardera). Alltså 1 - 2 = - 1

"Negativa areor" är ett smidigt sätt att illustrera integraler, men rent geometriskt kan ju en area inte vara negativ. Om vi verkligen bara ska prata om rent geometriska areor i koordinatsystemet är den totala arean alltså 1 + 2 = 3. 

Hoppas det hjälpte lite!

Yes, äntligen, tack för ett tydligt svar! Det hjälpte mycket.
Tack för svaret :)

Satan-i-Gatan skrev:

Det här är sjukt frusterande

Satan-i-Gatan, du vet väl att du kan redigera ditt inlägg (inom 2 timmar) så att du slipper spamma tråden med 5 inlägg på cirka 10 minuter? Dessutom är åtminstone det citerade inlägget en rem bumpning - det står i Pluggaktutens regler att man skall vänta åtminstone 24 timmar innan man bumpar sin tråd. /moderator