Förändringshastigheter och derivator

Har fastat på en fråga.

En vattentank med längden 4,5 meter har formen av ett liggande rakt prisma. Tvärsnitsarean är
en liksidig triangel med sidan 75 cm. Från tankens botten rinner vatten ut med hastigheten
150liter/minut. Hur snabbt sjunker vattennivån då vattendjupet är 25 cm?

Det första jag tänker är att försöka skapar en area ekvation typ. Som är beroende på höjden.

Jag började tänka att om man delar en liksidig triangel på mitten bli det en rätvinklig triangel. Ifrån detta kan jag skapar en ekvation beroende av höjden=hypotenusan. För jag vet att (basen =närligande katet)/(hypotonysan =höjden) alltid bli $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Om jag inte är helt snurrig nu så kan man ta våran höjde och gånga på båda sidorna och får fram att b= $\frac{\sqrt{3}}{2} h$ .

Sen utgå jag från formelbladet och tänkte mig ett liggande primas. Så ekvationen för primsa är basarean gånger höjden. Men för att inte krångla till det tänkte jag att höjden är våran längd, då längden är alltid konstant och inte ändras. Det som ändras är våran basarea istället. ekvationen för en liksidig triangel är basen gånger höjden delat på två alltså $\frac{b . h}{2}$ . Här bli jag dock lite förvirrad om hur det egentligen är våran bas satte jag som närliggande katet som verka stämma, i detta fall 25, dock här som är problemet är att jag satte våran höjd som hypotenusan, som verka vara fel, och då har jag egentligen inte löst något och hamnar på ruta 1 igen.

Det skulle nog göra det lättare för dig om du ritar upp din liksidiga triangel med höjd, för att få förhållandena rätt.

Om du inte kan det utantill går det alltid att använda trigonometri.

Om du inte kommer på vad den blå arean är så titta här

Den blå triangeln med höjden h har basen $\frac{2 h}{\sqrt{3}}$ och arean $\frac{h^{2}}{\sqrt{3}}$

Tack hjälpte mig mycket har kommit en bit känns det som

Har fått ut ekvatione n $\frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L = V$ . Men här ifrån ska jag försöka derivera väl. Men då försvinner min längd helt och hållet som känns lite fel. För tänkte ekvationen både ändå vara påverkan av längden ska jag försöka skapar ett till uttryck men som utgå från längden istället beroende på arean?

Tillägg: 5 maj 2023 18:43

Har försökt tänka vidare med det jag skrev kan detta eventuellt stämma $\frac{d v}{d t} = \frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L (\frac{2 h}{\sqrt{3}} \cdot 150)$ ? eller är $\frac{d v}{d t} = 150$

du ska använda kedjeregeln, det du söker är dh/dt

$\frac{d h}{d t} = \frac{d h}{d V} * \frac{d V}{d t}$

dV/dt är givet i uppgiften.

då återstår att ta fram dh/dV

ett sätt är att ta fram h(V) och sen derivera map på V, L kommer inte att påverkas vid deriveringen eftersom det är V som är variabeln.

tror jag har det nu men är osäker på om det är 2h/sqaurt3 eller bara 2h se nedan

$\frac{d h}{d t} = \frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L (\frac{2 h}{\sqrt{3}} \cdot \frac{d h}{d v}) s o m b l i \frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L \cdot \frac{2 h}{\sqrt{3}} \cdot \frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L \cdot \frac{d h}{d v} = 150 h ä r t ä n k e r j a g s ä t t a r i n s i f f r o r \frac{6, 25}{\sqrt{3}} \cdot 45 \cdot \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{6, 25}{\sqrt{3}} \cdot 45 \cdot \frac{d h}{d v} = 150 s o m b l i 76115, 515 \cdot \frac{d h}{d v} = 150 s o m b l i \frac{d h}{d v} = 1, 97 \cdot 10^{- 03} e l l e r s k a d e t s t å r \frac{d h}{d t} = \frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L (2 h \cdot \frac{d h}{d v}) s o m b l i \frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L \cdot 2 h \cdot \frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L \cdot \frac{d h}{d v} = 150 h ä r t ä n k e r j a g s ä t t a r i n s i f f r o r \frac{6, 25}{\sqrt{3}} \cdot 45 \cdot 5 \cdot \frac{6, 25}{\sqrt{3}} \cdot 45 \cdot \frac{d h}{d v} s o m b l i 131835, 9375 \cdot \frac{d h}{d v} = 150 s o m b l i \frac{d h}{d v} = 1, 137777778 \cdot 10^{- 03}$

Tillägg: 5 maj 2023 20:04

För att förtyliga så antog jag att mitt h är 2,5dm och mitt L är 45dm då jag vill delar på liter senare

Nu går du för fort fram.

Vad får du h(V) till?

Jag tänkt att min h(v) borde vara (h²*L)/(roten ur tre) då. Men ska jag tänkar h=roten ur(((v*(roten ur 3))/L)

Det blir lättare att lösa det du skriver om du använder formeleditorn

$\frac{h^{2}}{\sqrt{3}} L = V = > h (V) = V^{0, 5} * {(\frac{\sqrt{3}}{L})}^{0, 5}$

VAd får du om du deriverar h(V) med avseende på V?

Förlåt för sent svar men varit och jobbar. Men iallafall derivatan borde bli $\frac{1}{2 \sqrt{v}} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{L})}^{0.5}$ , Sen tänkte jag att jag borde ändra v till $\frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L$ detta borde bli $\frac{1}{2 \sqrt{\frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L}} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{L})}^{0.5}$ Dett borde bli $\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{L}}}{2 \sqrt{\frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L}}$ . Här efter är jag lite osäker om jag ska direkt $\frac{150}{\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{L}}}{2 \sqrt{\frac{h^{2}}{\sqrt{3}} \cdot L}}}$ alltså $\frac{150}{\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{45}}}{2 \sqrt{\frac{2, 5^{2}}{\sqrt{3}} \cdot 45}}}$ eller om jag missa något mellansteg.

Tillägg: 6 maj 2023 18:17

Dock får jag ett väldigt högt svar så känns som jag borde har missat något när jag räknade på det. svaret bli 19485

vi vill veta hur snabbt höjden sjunker när vattendjupet är 25 cm

vid 25 cms djup är volymen (vi räknar alla mått i dm, så vi får volymen i liter)

$\frac{2, 5^{2}}{\sqrt{3}} * 45 = \frac{6, 25 * 45}{\sqrt{3}} \approx 162, 4 l$

Vi vill alltså beräkna $\frac{d h}{d t}$ och satte tidigare att

$\frac{d h}{d t} = \frac{d V}{d t} * \frac{d h}{d V}$

Då sätter vi in det vi har

dV/dt = 150, givet i uppgiften

dh/dV när höjden är 25 cm, (och därför volymen = 162,4) = (använd sambandet du kom fram till i #9
$\frac{1}{2 \sqrt{162, 4}} \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{45}} = 0, 5 * \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{162, 4 * 45}} \approx 0, 0077$

så dh/dt = 150*0,0077 = cirka 1,2 dm/min

Är svaret rimligt?

Ja nu är jag med jag skulle alltså använda mig av gånger istället för division. Alltså $150 \cdot \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{45}}}{2 \sqrt{\frac{2, 5^{2}}{\sqrt{3}} \cdot 45}} \approx 1, 2$ .

Tack för att du tog dig tiden att hjälpa mig.

Svara

Visa senaste svar