Förändringshastigheter och derivator
Hej!
Jag är väldigt osäker på ett följande uppgift:
En vattentank med längden 4,5 meter har formen av ett liggande rakt prisma. Tvärsnitsarean är en liksidig triangel med sidan 75 cm. Från tankens botten rinner vatten ut med hastigheten 150liter/minut. Hur snabbt sjunker vattennivån då vattendjupet är 25 cm?
Så tänker jag:
V på en prisma hittar man enligt hb/2*l, vi vet att b=75cm eller 7,5dm, l=4,5m eller 45 dm
I detta fallet gäller samband dV/dt=dV/dh*dh/dt
dV/dt vet vi, det är 150l/min
dV/dh är V på en prisma
dh/dt är det som vi ska få fram, vattenhöjd i avseende på tid alltså.
dh/dt=(dV/dt) / (dV/dh)
Här undrar jag om man ska derivera V=hb/2*l för att få dV/dh? Men alla talen är ju tal, alltså de förändras inte vid derivering? Då får man:
dh/dt= 150 / ((2,5*7,5)/2 * 45))=0,35 dm/min eller 3,5 cm/min
Är det rätt tänkt?
Hej och välkommen till pluggakuten!
Varför har du sidan (75 cm) med i beräkningen? Resultatet måste vara detsamma även om sidan blir 10 eller 100 gånger större.
Då räknar jag ut basen på det blåa triangel och använder den istället:
Höjden på det stora triangeln är H^2=75^2-(75/2)^2, H=64,95 cm
De två trianglar är likformiga, då H/75=25/x, x=(75*25)/64,95=28,87 cm
dh/dt= 150 / ((2,5*2,9)/2 * 45))=0,9 dm/min
Blir det rättare så?
OK, du har beräknat basen av den blåa triangeln, det är viktigt.
Men du skriver att dV/dh = V på ett prisma. Och det är inte sant.
I detta fall är dV/dh = vattenytan = basen av den blåa triangeln * längden av prismat
Macilaci skrev:OK, du har beräknat basen av den blåa triangeln, det är viktigt.
Men du skriver att dV/dh = V på ett prisma. Och det är inte sant.
I detta fall är dV/dh = vattenytan = basen av den blåa triangeln * längden av prismat
Men det blir ju också en prisma, då stämmer formeln för en V på en prisma, och längden är alltid densamma, eller hur? Då blir det rätt för att det blir just V i avseende på h som i detta fal är både höjden på triangeln och vattenytan?
V är helt ointressant i detta fall. De här två prisman har samma dV/dh, för de har samma basyta (b*l).
Volymerna är helt olika.
Macilaci skrev:V är helt ointressant i detta fall. De här två prisman har samma dV/dh, för de har samma basyta (b*l).
Volymerna är helt olika.
Okej, då ska jag inte kalla det för volym för vatten kvar i tanken dV/dh, som just i detta fal är utformat till en prisma?
Kan du uttrycka V som en funktion av h? Dvs vad är uttrycket för V(h) ?
Vet du hur man ska göra jag har denna uppgiften också som inte jag kan lösa ut helt och hållet.
Har du fått svar behöver också verklig hjälp med den
arrehadde skrev:Vet du hur man ska göra jag har denna uppgiften också som inte jag kan lösa ut helt och hållet.
Hej. Skapa en ny tråd med samma fråga och visa hur långt du har kommit så får du snabbare hjälp.
Macilaci skrev:OK, du har beräknat basen av den blåa triangeln, det är viktigt.
Men du skriver att dV/dh = V på ett prisma. Och det är inte sant.
I detta fall är dV/dh = vattenytan = basen av den blåa triangeln * längden av prismat
Jag vet att detta är en gammal tråd, men är inte basytan = arean av den blåa triangeln?
Edit:
Alltså om V=B*l=(bh/2)*l där l är längden av prismat, b är basen av den blåa triangeln och h är höjden av den blåa triangeln gäller väl att dV/dh=bl/2, dvs vattenytan dividerat på 2?
kvm3 skrev:Alltså om V=B*l=(bh/2)*l där l är längden av prismat, b är basen av den blåa triangeln och h är höjden av den blåa triangeln gäller väl att dV/dh=bl/2, dvs vattenytan dividerat på 2?
Nej, det stämmer inte, eftersom b inte är oberoende av h.
db/dh = b/h
Om f(h) = b och g(h) = h*l/2
då V = f(h)*g(h)
och dV/dh = f*dg/dh + g*df/dh = b*l/2 + h*l/2 *b/h = b*l
Macilaci skrev:kvm3 skrev:Alltså om V=B*l=(bh/2)*l där l är längden av prismat, b är basen av den blåa triangeln och h är höjden av den blåa triangeln gäller väl att dV/dh=bl/2, dvs vattenytan dividerat på 2?
Nej, det stämmer inte, eftersom b inte är oberoende av h.
db/dh = b/h
Om f(h) = b och g(h) = h*l/2
då V = f(h)*g(h)
och dV/dh = f*dg/dh + g*df/dh = b*l/2 + h*l/2 *b/h = b*l
Men hur är l beroende av h? Och varför är f’(h) = b/h om f(h) = b?
1) l är inte beroende av h. l är konstant.
2) Trianglarna är likformiga ( dvs db/dh = b/h ):
Macilaci skrev:1) l är inte beroende av h. l är konstant.
2) Trianglarna är likformiga ( dvs db/dh = b/h ):
Okej, då är jag med. Tack!
Vad blev lösningen? Jag fick 5,7735 cm/min
