Förändringshastigheter

Hej!

Fastnar på denna uppgift.

"En cylindrisk vattentank har höjden 5,0 m och radien 2,0 m. Vatten pumpas in i tanken med hastigheten 75 liter/min. Hur snabbt stiger vattenytan?"

Min lösning:

Förhållandet mellan radien och höjden är $\frac{r}{h} = \frac{2}{5} \Rightarrow r = \frac{2}{5} h$

Funktionen är $V (h (t)) \Rightarrow V' (t) = V' (h) \cdot h' (t) \Leftrightarrow h' (t) = \frac{V' (t)}{V' (h)}$

Vi har V'(t), så vi måste bestämma V'(h).

$V (h) = π h^{2} r = π h^{2} \cdot {(\frac{2}{5} h)}^{2} = \frac{4 π h^{3}}{25} \Leftrightarrow V' (h) = \frac{12 {πh}^{2}}{25}$

Då får vi $h' (t) = \frac{V' (t)}{V' (h)} = \frac{V' (t)}{\frac{12 {πh}^{2}}{25}} = \frac{0, 075}{\frac{12 {πh}^{2}}{25}} m / m i n$

Nu är mitt problem detta: vad ska man sätta in för värde på h? Vanligtvis vid sådana här uppgifter brukar man ju få "när höjden/radien är x m". Här har vi ingen sådan information - hastigheten är väl konstant. Men hur ska man göra isåfall?

Finns det någon bild till uppgiften? Om cylindern ligger ned måste vi ha den nuvarande höjden för att kunna ge ett exakt svar, men om cylindern står upp (dvs. den cirkulära botten mot marken) är hastigheten konstant. Då ökar höjden med lika mycket som höjden av den vattenpelare som pumpas in, med volymen 75 liter och de givna måtten (per minut).

eftersom tanken är definierad med radien och höjden anser nog jag att det är en stående cylinder vi pratar om. Därmed kommer ju förändringen i höjd att vara oberoende av vilken som är vår ursprungshöjd.

Du krånglar till det för dig. Förhållandet mellan radien och höjden är inte relevant då du vet radien så du sätter in det kända värdet på r på slutet. du har:

$\frac{d V}{d t} = 75 l / m i n$

Du vill veta $\frac{d h}{d t}$

och genom att du vet volymen för en cylinder $V = π r^{2} h$ kan du beräkna $\frac{d V}{d h}$

Du kan konstatera med kedjeregeln att $\frac{d V}{d t} = \frac{d V}{d h} \frac{d h}{d t}$

Lös ut $\frac{d h}{d t}$ och sätt in de värden du vet.

Aha! Det stämmer att man ska strunta i förhållandet mellan radie och höjd. Vid derivering försvinner höjden och man använder sig bara av radiens värde. Nu blev det rätt. Tack!

Svara

Visa senaste svar