Förändringshastighet
Om man exempelvis har 1000 bakterier som har en tillväxthastighet som är 10% av det aktuella antalet så kan man ju se lösningen som funktionen 1000*e^0.1x beräknad med första ordningens diffekvation.
Men hur förklarar man skillnaden mot att istället använda förändringsfaktorn 1.10 som alltså ger funktionen 1000*1.10^x ?
Förstår inte riktigt vad du menar. Skillnaden är väl bara att man använder basen e för att lättare derivera/integrera? Annars är du ju samma sak
Nej, 1.10 är ju inte riktigt detsamma som e^0.1 och för stora x blir skillnaden ganska betydande. I bägge fallen talar man ändå i termer av 10-procentig tillväxt.
Det handlar om något som heter Maclaurin-serier. När man skriver att ex = 1+x tar man bara med de två första termerna. Om x är tillräckligt litet blir skillnaden försumbar, om x är stort blir skillnaden "ganska betydande", precis som Jorgen skriver.
Jo, det är korrekt med Maclaurin eller Taylerutvecklingen som jag brukar kalla den. Men om man löser ekvationen y' = 0.1y så motsvarar den inte riktigt exakt 10% tillväxt utan något som ligger hyfsat nära, är det så man ska tolka det?
10% på vilken tid?
e^0.1x ger dig en derivata, ett momentanvärde.
1.1^x ger dig 10% ökning på en tidsenhet.
Det är här det luriga kommer in som jag ser det. Tiden (eller x-värdet) ska ju egentligen inte spela någon roll då även förändringsfaktorn utgör en procentuell ökning per tidsenhet.
Jo, det spelar stor roll.
Man inser det enklast om man har en stor tidsenhet. Låt oss säga att enheten är år.
Med en förändringsfaktor 2 kommer t.ex. 100kr på banken att växa till precis 200 kronor efter ett år, och precis 400 kronor efter två år. Du ser det i den röda kurvan.
Om man kontiunerligt har en derivata f'(x) = 1*f(x) kommer tillväxten i början att "peka mot" 200 kr ett år senare, men det är inte samma sak, eftersom man under årets lopp får mer pengar, och tillväxten hela tiden "pekar mot" det dubbla beloppet ett år senare. Du ser det i den gröna kurvan. De svarta pilarna visar hur tillväxten "pekar mot" det dubbla beloppet ett år senare.
Tack för en bra och tydlig förklaring. Kan man då tolka det som att diffekvationen y' = 0.1y generellt sätt är en mer nogrann beskrivning av 10%-ig tillväxt jämfört med att bara uttrycka y med uttrycket y = C*1.1^x ?
Det var egentligen detta som var min kärnfråga från början.
"10-procentig ökning" är ett luddigt begrepp som måste preciseras.
Skriv 1.1 som e^(ln 1.1) och derivera, så ser du skillnaden på dina två funktioner.
Om du läser högre upp i tråden så är det ju just den skillnaden som frågan gällde. Jag kan allt det där med derivata och diffekvationer men förstår ändå inte riktigt vad som är luddigt med 10-procentig tillväxt. Antingen har man väl det eller så har man det inte fullt ut. Men i Ma1-2 beskriver man den 10%-iga ökningen med 1.1^x och i Ma5 med e^0.1x. Tycker det är lite märkligt att inte denna skillnad diskuteras mer i läroböckerna, för självklar är den då inte.
Läs alla mina svar igen, och återkom om något fortfarande är oklart.
En ökning innebär att ETT värde är större än ETT ANNAT värde.
Det gäller att veta vilka två värden man jämför. Därför är 10% ökning per år inte samma som 10% per månad, till exempel.
Jag tror vi kan ge upp där. Antingen pratar vi förbi varandra eller så menar vi inte samma sak. Enligt mitt sätt att se det så är en 10-procentig ökning alltid 10-procentig oavsett steglängden. Så även om steglängden går mot noll (alltså i princip mot en momentan förändring) så finns ju skillnaden där mellan de bägge kurvorna.
Jorgen skrev:Jag tror vi kan ge upp där. Antingen pratar vi förbi varandra eller så menar vi inte samma sak. Enligt mitt sätt att se det så är en 10-procentig ökning alltid 10-procentig oavsett steglängden. Så även om steglängden går mot noll (alltså i princip mot en momentan förändring) så finns ju skillnaden där mellan de bägge kurvorna.
Hur stor ökning har du på ett år, om ökningen per år är 10 %?
Hur stor ökning har du på ett år, om ökningen per månad är 10 %?
Ännu en som inte förstått min frågeställning. Det är ju inte det frågan gäller. Jämför kurvan 1.1^x med e^0.1x.
Eftersom 1.1 är ungefär e^0.0953 så är 1.1^x samma sak som e^0.0953x
Jorgen skrev:Ännu en som inte förstått min frågeställning. Det är ju inte det frågan gäller. Jämför kurvan 1.1^x med e^0.1x.
Det stämmer inte med vad du skrev tidigare:
Enligt mitt sätt att se det så är en 10-procentig ökning alltid 10-procentig oavsett steglängden.
Då skulle väl en ränta på 10 % per månad vara samma sak som en ränta på 10 % per år?
Bubo skrev:Eftersom 1.1 är ungefär e^0.0953 så är 1.1^x samma sak som e^0.0953x
Ja, precis! Och vad vill du säga med det då?
Det är ju exakt det du frågade efter allra först:
"... så kan man ju se lösningen som funktionen 1000*e^0.1x beräknad med första ordningens diffekvation.
Men hur förklarar man skillnaden mot att istället använda förändringsfaktorn 1.10 som alltså ger funktionen 1000*1.10^x ?"
Nej, frågeställningen var varför man kallar båda varianterna för 10-procentig tillväxt. Än så länge har jag inte lyckats få ett trovärdigt svar eller bevis på denna frågeställning av någon. Den enda förklaringen som jag kan se är att ekvationen y'-0.1y = 0 egentligen bara motsvarar en ungefärlig 10-procentig tillväxt. Om det är så man ska tolka det, så är det väl en ok approximation så länge vi talar om små procentsatser och låga x, men vid högre procentsatser blir ju avvikelsen snabbt betydande. Och då borde man ju i matteböckerna också ange just ordet ungefärlig i uppgifterna. Men som sagt, min antagna förklaring kan vara felaktig, därav frågan.
Så länge du inte definierar vilket värde som ska vara 10% större än något annat värde så blir det väldigt förvirrande, ja.
