Förändringshastighet

Hur beräknar ud arean för en cirkel, när du vet radien? Detta är A(r). Vad är A'(r)?

Arean för en cirkel är pi * r^2.

A'(r) = 2pi *r

$\frac{dA}{dt}= 6 pi \times 3=18pi$

Hur ska jag göra nu för att beräkna hur hastigheten för cirkelytans area ändras efter 5 sekunder? 

Du vet A'(3), du vet r'(t). Du har skrivit ett användbart samband i ditt förstainlägg. Det är bara att montera ihop allting.

Förstår inte hur jag ska få in 5 genom att kolla på sambandet? 

blnds skrev:

Förstår inte hur jag ska få in 5 genom att kolla på sambandet? 

Jag skrev fel. Du vet att $A'(r)=2\pi r$ och kan få fram A'(5) genom att sätta in att t=5. Du vet från uppgiften att "Området är cirkelformat och radien växer med 3 m/s.", d v s du vet r'(t).  Du har ett anvädbart samband i ditt förastainlägg.

Okej, så A'(5) = 18pi * 5 = 90pi som ungefär är 283 m^2/s? 

Här har vi en av de situationer där det är tyckligare att använda beteckningen $\frac{dA}{dr}=90\pi$ så att vi inte blandar ihop det med $\frac{dA}{dt}$ som är det vi vill beräkna. Jag inser nu (men inte för en stund sedan!) att det jag skrev i mitt förra inlägg möjligen kan tolkas fel.

Men är 283 m^2/s rätt? 

Nej, det är $\frac{dA}{dr}$, inte $\frac{dA}{dt}$ som man frågar efter, precis som jag skrev i mitt förra inlägg.

Nu förstår jag inte vad jag ska göra? Jag har gjort rätt bortsett från det sista inlägget? 

Du har fortfarande inte använt dig av det du skälv skrev i ditt förstainlägg, nämligen att $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$.

Gjorde jag inte det tidigare. 

$\frac{dA}{dr }=6pi$

$\frac{dr}{dt}=3$

Sedan multiplicerar jag dem och får: $\frac{dA}{dt}=18pi$

Det är möjligt att du har gjort det tidigare också, men nu presenterar du det på ett sätt som är så tydligt att jag kan hänga med. Ännu tydligare vore det att skriva

$\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$

$\frac{dA}{dr}=6\pi$     $\frac{dr}{dt}=3$

$\frac{dA}{dt}=6\pi\cdot 3=18\pi$

Men det är nu jag inte förstår hur jag ska göra? 

Om jag fattar rätt, så är du färdig, men jag ville visa hur du kunde ha varit tydligare.

Ännu tydligare blir det om man hela tiden sätter ut enheterna, tycker jag, och då får man en löpande kontroll av att det man gör är fysikaliskt rimligt.

Men jag kan väll inte vara färdig nu? Jag har ju inte använt 5 någonstans i mina beräkningar som det står i uppgiften? 

Det borde du ha gjort - du borde ha beräknat värdet för $\frac{dA}{dr}$ när r=5.

Men 5 är väll inte r? 5 är i sekunder? 

Radien ökar med 3 m/s. Hur stor är den efter 5 s? 

15m

blnds skrev:

15m

Då kan du sätta in det i de andra formlerna. 

Förstår inte vilken formel 15m representerar, har redan "använt" alla formlerna? 

blnds skrev:

Förstår inte vilken formel 15m representerar, har redan "använt" alla formlerna? 

Du undrade ju vad du skulle göra med 5. 

Ja jag förstår inte hur den ska vara med i beräkningarna? Har ju kommit fram till att 

$\frac{dA}{dt}=18pi$

Men vet inte hur jag ska göra nu? Efter 5s är radien 15. Representerar det:

$\frac{dr}{dt}=15$ ?? Är jätte förvirrad

Du skrev själv i ditt första inlägg att $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}+\frac{dr}{dt}$, d v s hur arean växer per tidsenhet är lika med hur arean växer i förhållande till hur radien växer multiplicerat med hur radien växer med avseende på tiden.

Det står i uppgiften att området är cirkelformat. Det betyder att $A(r)=\pi r^2$. Om man deriverar denna funktion med avseende på $r$ får man $A'(r)=2\pi r$.

Det står också att radien växer med den konstanta hastigheten 3 m/s.

Du vill beräkna med vilken hastighet cirkelytans area ändras 5 sekunder efter att gasen har börjat spridas. När t=5 är r=15, så $A'(r)$ har värdet $2\pi r=2\pi\cdot15$ och $A'(t)$ är alltså $2\pi\cdot15\cdot3$.

Jag får erkänna att jag har läst lite för slarvigt tidigare.

Okej, då förstår jag!

Tack så jättemycket för hjälpen.