För vilket x blir lutningen 45 grader (Matematik/Matte 4)

y' = - sin(2x) är rätt.

Resten är fel.

Du skall lösa ekvationen y' = 1.

Om du tänker på räta linjens ekvation så vet du att k=1 innebär att linjen lutar 45 grader.
k i punkten x är k=y'(x)

Hur kan man derivera cos²(x)?

Katarina149 skrev:
Hur kan man derivera cos²(x)?

Hej!

Använd kedjeregeln.

$h\left(x\right)=\cos^2\left(x\right)$ är en sammansättning av funktionerna $f$ och $g$ , $h=f\circ g$ där $f\left(x\right)=x^2$ och $g\left(x\right)=\cos\left(x\right)$ .

Är det här rätt derivata

Jag kan förenkla f’(x)=-sin(2x)

Är det rätt?

sen ska jag sätta y=45 och lösa ut x

Men då går det inte att ta sinus invers

Vad ska man göra?

Ja, det är rätt derivata och den kan förenklas till $y'\left(x\right)=-\sin\left(2x\right)$ .

Uppgiften är lustigt formulerad, om jag skulle gissa på vad man menar är att tangenten till funktionen $y$ ska ha vinkeln $45^\circ$ med x-axeln. Alltså ska tangenterna till $y$ ha samma lutning som tangenterna till funktionen $\hat{y}= x$ . Och vad är det för lutning? Rita gärna.

Moffen skrev:
Ja, det är rätt derivata och den kan förenklas till $y'\left(x\right)=-\sin\left(2x\right)$ .

Uppgiften är lustigt formulerad, om jag skulle gissa på vad man menar är att tangenten till funktionen $y$ ska ha vinkeln $45^\circ$ med x-axeln. Alltså ska tangenterna till $y$ ha samma lutning som tangenterna till funktionen $\hat{y}\coloneq x$ . Och vad är det för lutning? Rita gärna.

Jag förstår inte vad du menar. Menar du att man ska bestämmma tangentens ekvation?

Katarina149 skrev:
Moffen skrev:
Ja, det är rätt derivata och den kan förenklas till $y'\left(x\right)=-\sin\left(2x\right)$ .

Uppgiften är lustigt formulerad, om jag skulle gissa på vad man menar är att tangenten till funktionen $y$ ska ha vinkeln $45^\circ$ med x-axeln. Alltså ska tangenterna till $y$ ha samma lutning som tangenterna till funktionen $\hat{y}\coloneq x$ . Och vad är det för lutning? Rita gärna.

Jag förstår inte vad du menar. Menar du att man ska bestämmma tangentens ekvation?

Nej, jag menar att uppgiften vill att du ska hitta dom punkterna till $y$ där tangenten i dessa punkter bildar en vinkel som är $45^\circ$ tillsammans med x-axeln (eller, pga. symmetri, y-axeln).

Katarina149 skrev:

Ok är den här uträkningen rätt ?

Nej, du verkar lösa ekvationen $y'\left(x\right)=\frac{\pi}{4}$ , men det är inte den ekvationen du vill lösa. Om du ritar en bild så ser du att du vill lösa ekvationen $y'\left(x\right)=1$ eftersom det är lutningen på den räta linjen $y=x$ som tillsammans med x-axeln bildar en vinkel på $45^\circ$ . Rita en bild det är viktigt att du förstår detta.

(Man kunde ha valt flera räta linjer inte bara $y=x$ ).

Nu hänger jag inte med. Det står i uppgiften att lutningen dvs derivatan ska vara 45 grader vilket är detsamma som pi/4 … Nu säger du att jag ska sätta y’(x)=1? Vad är det jag ska rita?

Katarina149 skrev:
Nu hänger jag inte med. Det står i uppgiften att lutningen dvs derivatan ska vara 45 grader vilket är detsamma som pi/4 … Nu säger du att jag ska sätta y’(x)=1? Vad är det jag ska rita?

Jag kan inte betona tillräckligt hur viktigt det är att du ritar i det här fallet.

Det står i uppgiften att lutningen dvs derivatan ska vara 45 grader vilket är detsamma som pi/4

Enligt mig är det en mycket dåligt skriven uppgift. Man bör skriva ner ordentligt vad som ska "ge $45^\circ$ lutning". Jag tolkar det som så jag skrev tidigare, tangenten till funktionen $y\left(x\right)$ ska tillsammans med x-axeln bilda en vinkel på $45^\circ$ . Det är så som jag tolkar det, och det är ganska annorlunda från att "derivatan ska vara $45^\circ$ ", eller hur?

Det jag vill att du ritar är alltså situationen som jag beskrivit. Dra tangenter till din funktion så att dessa tangenter bildar en vinkel på $45^\circ$ där den skär x-axeln. Notera att det ska vara $+45^\circ$ , med ett +.

Då bör du kunna se ett samband med lutningen hos dessa tangenter, och alltså värdet på derivatan av $y\left(x\right)$ i dessa punkter.

Jag har försökt att rita en bild och försökt förstå något av bilden med tyvärr gör jag inte det

Jag skrev: Det jag vill att du ritar är alltså situationen som jag beskrivit. Dra tangenter till din funktion så att dessa tangenter bildar en vinkel på $45^\circ$ där den skär x-axeln.

Jag kan inte se att du har ritat någon tangent allts i din bild. Vad är ekvationen för den räta linjen du ritat?

Programmeraren skrev:
Om du tänker på räta linjens ekvation så vet du att k=1 innebär att linjen lutar 45 grader.
k i punkten x är k=y'(x)

Du deriverade rätt i första försöket. Det återkommande felet är att du inte löser ekvationen
f'(x)=1
dvs:
-sin(2x)=1

Du löser istället f(x)=pi/4 vilket verkar vara idén att f'(x) ska ge vinkeln som resultat. Men f'(x) är ju lutningen i x och lutningen är 1 när grafens tangent lutar 45 grader. Ta det lugnt. Inget tar så mycket tid som att hasta fram och göra fel som leder till följdfel som leder till förvirring.

Programmeraren skrev:
Programmeraren skrev:
Om du tänker på räta linjens ekvation så vet du att k=1 innebär att linjen lutar 45 grader.
k i punkten x är k=y'(x)

Du deriverade rätt i första försöket. Det återkommande felet är att du inte löser ekvationen
f'(x)=1
dvs:
-sin(2x)=1

Du löser istället f(x)=pi/4 vilket verkar vara idén att f'(x) ska ge vinkeln som resultat. Men f'(x) är ju lutningen i x och lutningen är 1 när grafens tangent lutar 45 grader. Ta det lugnt. Inget tar så mycket tid som att hasta fram och göra fel som leder till följdfel som leder till förvirring.

Varför ska jag lösa den här ekvationen f'(x)=1?

Moffen skrev:
Jag skrev: Det jag vill att du ritar är alltså situationen som jag beskrivit. Dra tangenter till din funktion så att dessa tangenter bildar en vinkel på $45^\circ$ där den skär x-axeln.

Jag kan inte se att du har ritat någon tangent allts i din bild. Vad är ekvationen för den räta linjen du ritat?

Jag förstår inte hur du menar helt ärligt.

Kan du ladda upp en bild på uppgiftslydelsen så kan vi förklara med hjälp av de begrepp som ingår där?

Jag har hittat uppgiften här på pluggakuten

Katarina149 skrev:
Programmeraren skrev:
Programmeraren skrev:
Om du tänker på räta linjens ekvation så vet du att k=1 innebär att linjen lutar 45 grader.
k i punkten x är k=y'(x)

Du deriverade rätt i första försöket. Det återkommande felet är att du inte löser ekvationen
f'(x)=1
dvs:
-sin(2x)=1

Varför ska jag lösa den här ekvationen f'(x)=1?

Du vill veta var funktionens tangent lutar 45 grader

En rät linje som lutar 45 grader har k=1

En funktions lutning i punkten a är f'(a)

Det blir ekvationen f'(x)=1

Är det klart? Om inte, vilken av dessa 4 fastnar du på?

”En rät linje som lutar 45 grader har k=1”

Hur vet man att den har ett k=1?

Tänk på y=kx+m och k=deltaY/deltaX. k=1 betyder att deltaX och deltaY är lika långa. Dvs vinkeln är 45 grader.

Hur vet att att om k=1 att vinkeln är 45 grader?

Programmeraren skrev:
Tänk på y=kx+m och k=deltaY/deltaX. k=1 betyder att deltaX och deltaY är lika långa. Dvs vinkeln är 45 grader.

Är det detta du tycker är oklart? Jag är 100% säker på att du kan detta.

Rita en rätvinklig triangel med 2 lika långa katetrar. Vad är vinkeln? Vad är k?

Katarina149 skrev:
Jag har hittat uppgiften här på pluggakuten

Var?

Kan du skicka en länk?

Eller skriv vad tråden heter

https://www.pluggakuten.se/trad/derivata-233/

Teamrob har gjort fel. Och sen har du halkat in i hans lösning så du bygger vidare på hans fel.

Menar du att frågan är fel formulerad?

Programmeraren skrev:
Programmeraren skrev:
Tänk på y=kx+m och k=deltaY/deltaX. k=1 betyder att deltaX och deltaY är lika långa. Dvs vinkeln är 45 grader.

Är det detta du tycker är oklart? Jag är 100% säker på att du kan detta.

Rita en rätvinklig triangel med 2 lika långa katetrar. Vad är vinkeln? Vad är k?

Har du ritat triangeln?

Nej frågan är rätt formulerad, om än lite otydlig.

En tydligare formulering skulle vara:

"Finn alla de x-värden för vilka grafen till funktionen y(x) = cos²(x) har lutningen 45°"

Om grafen har lutningen 45° i en punkt så innebär det att tangenten i den punkten har riktningskoefficienten 1

Du vet att tangentens lutning i en punkt är lika med funktionens derivata y'(x) i den punkten.

Du söker alltså efter alla de x-värden för vilka derivatan har värdet 1, dvs alla lösningar till ekvationen y'(x) = 1.

Det är förvirrande varför man måste sätta derivatan lika med 1

Har du ritat den rätvinkliga triangeln med lika långa katetrar av godtycklig längd s?
Där vinkeln då blir 45 grader?
Och tan(45)=motstående katet / närliggande katet = s / s = 1?
Och k=deltaY/deltaX=s/s=1

Katarina149 skrev:
Det är förvirrande varför man måste sätta derivatan lika med 1

Är du med på att en linje som har lutningen 45° har riktningskoefficienten 1?

nej det är jag inte med på

ska man tänka att då vinkeln är 45 grader är sinus och cosinus värdet lika stort vilket ger oss att k=1?

Katarina149 skrev:
nej det är jag inte med på

Jag är övertygad om att du krånglar till det i onödan. Det här handlar helt enkelt om räta linjens ekvation y = kx + m.

Är du med på att linjen y = x har k-värdet 1, dvs att den har riktningskoefficienten 1?
Är du med på att denna linje har lutningen 45°?

Ja det är jag med på (1) och (2)

Katarina149 skrev:
Ja det är jag med på (1) och (2)

OK, bra.

Då är du även med på det jag skrev i kommentar #35?

Hur hade varit om det istället hade varit en annan vinkel? Exempelvis 30 grader eller 150 grader? Hur ska man veta vad riktningskoefficienten är?

Du känner säkert till att en rät linje i ett x/y-koordinatsystem har riktningskoefficienten $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Om du ritar denna linje och använder dina kunskaper om trigonometri så ser du att du även kan skriva $k=\tan(v)$ , där $v$ är vinkeln mellan linjen och x-axeln.

Som du säkert minns har du i tidigare kurser gjort massor med tal där du skulle hitta ekvationen för den linje som tangerar en kurva i en viss punkt. Då deriverade du och satte in x-värdet för punkten för att få tangentens k. Du använde då:

För en funktion f(x) gäller att lutningen för dess tangent där x=a är f'(a)

Jag fick svaret x=270 grader och x=315 grader

Du glömmer dela period med 2
Var kom x2 från?

Sinus har två lösningar dels v och 180-v

Katarina149 skrev:
Jag fick svaret x=270 grader och x=315 grader

Oj juste. Då skulle det bli 135 grader och 315 grader

Du kommer fram till ekvationen

sin(2x) = -1

Vi antar nu att svaret ska ges i grader.

Ekvationen ger oss

2x₁ = -90° + n•360° och

2x₂ = 270° + n•360°

Du ser att dessa två ekvationer ger samma lösningar (eftersom 270° = -90° + 360°).

Vi kan alltså skriva ihop dessa till

2x = 270° + n•360°

Lösningsmängden är alltså x = 135° + n•180°, vilket bör vara ditt svar.

Här är min fullständiga lösning. Jag undrar däremot vilken riktnings koffeinet eller f’(x) vi skulle ha satt in i ekvationen om vinkeln inte var 45, exempelvis om den hade varit 30 grader eller en annan vinkel..

k=tan(v)
v är vinkeln mellan linjen och x-axeln.

Så om vinkeln istället är 30 grader i uppgiften så skulle man tänka tan (30)~ 0.577 och sätta in det som f’(x)?

Ja, men du skulle för säkerhets skull inte använda ett avrundat värde.

$\tan (30) = \frac{\sin (30)}{\cos (30)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Kan bli så att du måste använda det avrundade värdet sen men skjut upp det beslutet så långt som möjligt.

Okej då förstår jag! Tack:)